A dimensão do núcleo de A - 2 I é 1 e seu polinômio característico é p λ = λ - 2 2 λ + 2 . Assinale a alternativa VERDADEIRA:

a   A dimensão do autoespaço associado ao autovalor 2 é igual a 2

b   A matriz A é diagonalizável.

c det ⁡ A = 0

d   A dimensão do autoespaço associado ao autovalor 2 é igual a 1

Passo 1

O que é o núcleo de A - 2 I galera? É simplesmente um jeito difícil de se falar do autoespaço associado ao autovalor 2 ! Para acharmos um autoespaço nós substituímos o λ que queremos e resolvemos o sistema homogêneo:

A - λ I = 0

Então o autoespaço associado ao autovalor 2 é o núcleo de A - 2 I ! Beleza, ele diz que a dimensão desse núcleo é 1 . Logo, nosso autovalor 2 tem multiplicidade geométrica igual a 1 ! Vamos guardar essa informação:

λ = 2 → m . g . = 1

Passo 2

Depois ele dá o polinômio característico de A , que é p λ = λ - 2 2 λ + 2 . Dele, a gente pode tirar a multiplicidade algébrica dos autovalores! No caso temos:

λ = 2 → m . a . = 2

λ = - 2 → m . a . = 1

Passo 3

Tiramos tudo o que dava pra tirar do enunciado, então vamos analisar as afirmativas:

a “A dimensão do autoespaço associado ao autovalor 2 é igual a 2

Vimos lá no Passo 1 que ela vale 1 . Então essa é falsa.

b “A matriz A é diagonalizável.”

Para uma matriz ser diagonalizável, a multiplicidade geométrica tem de ser igual à algébrica para todos os seus autovalores. Como temos o autovalor λ = 2 com m . g . = 1 e m . a . = 2 , ela não é diagonalizável. Então é falsa.

c det ⁡ A = 0

Lembra que o det ⁡ A pode ser calculado pelo produto dos autovalores de A ? Então não só sabemos que ele é diferente de 0 como sabemos que ele vale:

2 ∙ 2 ∙ - 2 = - 8

Essa é falsa.

d “A dimensão do autoespaço associado ao autovalor 2 é igual a 1

Desde o Passo 1 já sabíamos que essa era a certa haha, olhei as outras só pra praticar os conceitos mesmo! Essa é a verdadeira.

Resposta

Letra ( d )

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Seja A =4 0 1 2 3 2 1 0 4 Será A diagonalizável? Justifique sua conclusão.
Dizemos que uma matriz A n × n é diagonalizável se seu operador associado T A : R n → R n for diagonalizável, ou seja, A é diagonalizável se, e somente se A admitir n autovetores L I . Baseado nisto,
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Dada a matriz: A = 2 1 0 0 0 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 A é diagonalizável?Encontre seu polinômio minimal.