Dizemos que duas matrizes A , B ∈ M 2 × 2 ( R ) comutam se satisfazem A B = B A . Considere o conjunto C ( A ) de todas as matrizes que comutam com A

C A = B ∈ M 2 × 2 R A B = B A }

Considere agora o caso particular das matrizes A = 1 - 1 - 4 1 e D = 3 0 0 - 1 .

( c ) Mostre que existe uma matriz P invertível tal que A = P D P - 1 .

(Observação: é possível mas não é necessário calcular a matriz P , nem P - 1 .)

( d ) Mostre que se uma matriz B comuta com D , então B é diagonal.

Passo 1

Letra ( c )

Vamos entender o e enunciado antes. Lembra o que significa diagonalizar uma matriz?? De acordo com a definição significa que ela deve ser semelhante a uma matriz diagonal, e semelhança de matrizes é exatamente a fórmula da questão!

A = P D P - 1

Ou seja, se conseguirmos achar uma matriz D diagonal e uma P que seja inversível, então podemos dizer que A é semelhante a D , mas como no caso D é diagonal... então podemos dizer que A é diagonalizável.

Passo 2

Então agora a pergunta muda para, “Mostre que A é diagonalizável”, pois se for irá satisfazer as condições do enunciado. Mas como o enunciado nos disse que a matriz D possui dois números diferentes em sua diagonal, então quer dizer que ela possui dois autovalores diferentes, ou seja, seus autovetores são L I , então temos 2 autovetores L I , e se considerarmos essa A uma T em alguma base, ela seria diagonalizável, pois possui uma base de autovetores para o seu domínio e assim, temos que todas as representações de T são também e portanto a A . Logo existe sim uma matriz P que satisfaz o enunciado, pois A é diagonalizável.

Passo 3

-

Letra ( d )

Seja B = a b c d

Tá então temos que provar que:

  B D = D B

Como dessa vez temos a matriz D , vamos resolver as duas equações e achar a B de fato:

a b c d 3 0 0 - 1 = 3 0 0 - 1 a b c d ⇒

3 a - b 3 c - d = 3 a 3 b - c - d ⇒

3 a = 3 a 3 c = - c ⇒ 4 c = 0 ⇒ c = 0 - b = 3 b ⇒ 4 b = 0 ⇒ b = 0 - d = - d

Agora, como a primeira e a ultima equações não nos disseram o valor de a nem d então eles pode ser quais números reais. Mas achamos que nesse caso, c = b = 0 , e isso nos leva a uma matriz B assim:

B = a 0 0 d

Logo acabamos de achar que B é diagonal.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Seja A =4 0 1 2 3 2 1 0 4 Será A diagonalizável? Justifique sua conclusão.
Dizemos que uma matriz A n × n é diagonalizável se seu operador associado T A : R n → R n for diagonalizável, ou seja, A é diagonalizável se, e somente se A admitir n autovetores L I . Baseado nisto,
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Dada a matriz: A = 2 1 0 0 0 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 A é diagonalizável?Encontre seu polinômio minimal.