Qual matriz abaixo é diagonalizável (sobre os reais)?

(a)

(b)

(c)

(d)

Passo 1

(a)

Essa matriz é triangular superior.

Quando isso acontece, os autovalores são os elementos da diagonal principal.

Então temos λ = 1 e λ = 2 , ou seja, dois autovalores distintos.

Como a matriz é 2 × 2 com dois autovalores distintos, ela é diagonalizável.

Essa é a nossa resposta, mas vamos ver por que as outras matrizes não são.

Passo 2

(b)

Vamos calcular os autovalores dessa matriz:

det ⁡ A - λ I = 0

λ 2 - 6 5 λ + 1 = 0

Esse polinômio não tem raízes reais.

A questão quer que a matriz seja diagonalizável sobre os reais, então essa não seria a resposta.

Passo 3

(c)

De novo temos uma matriz triangular superior.

Mas dessa vez os autovalores são iguais a λ = 1 , então não necessariamente vai ser diagonalizável. Vamos ter que calcular os autovetores!

Fazendo isso, vamos achar somente o vetor ( 1,0 ) .

Então não temos uma base de autovetores e a matriz não é diagonalizável.

Passo 4

(d)

De novo vamos calcular os autovalores.

det ⁡ A - λ I = 0

λ 2 + 1 = 0

Esse cara também não tem raízes reais!

Como a questão quer que seja diagonalizável sobre os reais, não poderíamos marcar esse.

Resposta

(a)

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Seja A =4 0 1 2 3 2 1 0 4 Será A diagonalizável? Justifique sua conclusão.
Dizemos que uma matriz A n × n é diagonalizável se seu operador associado T A : R n → R n for diagonalizável, ou seja, A é diagonalizável se, e somente se A admitir n autovetores L I . Baseado nisto,
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Dada a matriz: A = 2 1 0 0 0 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 A é diagonalizável?Encontre seu polinômio minimal.