A matriz abaixo está fatorada na forma M D M - 1 . Sem fazer contas, determine os autovalores da matriz e bases para cada um dos autoespaços.

3 1 - 2 - 2 0 4 0 0 2 = 1 2 - 1 1 0 2 1 1 0 2 0 0 0 2 0 0 0 1 - 2 - 1 4 2 1 - 3 1 1 - 2

Passo 1

Como vimos nesse capítulo, ao fatorarmos uma matriz na forma:

A = P D P - 1

Com D matriz diagonal, temos que a diagonal de D são os autovalores dessa matriz, e as colunas de P são autovetores associados aos autovalores (na ordem em que eles aparecem em D ). E é exatamente essa fatoração que o enunciado nos dá!

Sendo assim, temos o autovalor 2 associado ao autoespaço 1,1 , 1 , 2,0 , 1 . Uma base para ele são os próprios autovetores 1 , 1,1 , 2,0 , 1 .

Já o autovalor 1 está associado ao autoespaço que tem como base - 1,2 , 0 .

Resposta

Autovalor λ = 2 associado ao autoespaço com base 1 , 1,1 , 2,0 , 1 .

Autovalor λ = 1 associado ao autoespaço com base - 1 , 2,0 .

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Seja A =4 0 1 2 3 2 1 0 4 Será A diagonalizável? Justifique sua conclusão.
Dizemos que uma matriz A n × n é diagonalizável se seu operador associado T A : R n → R n for diagonalizável, ou seja, A é diagonalizável se, e somente se A admitir n autovetores L I . Baseado nisto,
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Dada a matriz: A = 2 1 0 0 0 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 A é diagonalizável?Encontre seu polinômio minimal.