(I) A matriz 1 4 - 1 5 0 0 0 0 0 0 0 0     3 0     0 2 cujo polinômio característico é λ - 3 3 ( λ - 2 ) , é diagonalizável.

(II) Se uma matriz 3 × 3 tem polinômio característico ( 3 - λ ) ( 2 - λ ) ( 1 - λ ) , então é diagonalizável.

(a) (I) e (II) são falsas.

(b) (I) e (II) são verdadeiras.

(c) (I) é falsa e (II) é verdadeira.

(d) (I) é verdadeira e (II) é falsa.

Passo 1

Uma matriz A   n × n é diagonalizável se e só se a soma das dimensões dos autoespaços associados a cada autovalor de A é n.

A matriz A da afirmação (I) é uma matriz 4 × 4 , então a soma das dimensões dos autoespaços tem que ser igual a 4 pra ela ser diagonalizável.

Os autovalores de A são as raízes do polinômio característico, certo?

E foi dito pra gente que o polinômio característico de A é

λ - 3 3 λ - 2

Igualando isso a zero, vamos achar os autovalores:

λ 1 = 3

λ 2 = 2

Agora vamos calcular os autoespaços.

Passo 2

Para λ 1 = 3 , aplicando a definição de autovetor:

A v = λ v

Vamos ter:

1 4 - 1 5 0 0 0 0 0 0 0 0     3 0     0 2 x y z w = 3 x y z w

x + 4 y = 3 x - x + 5 y = 3 y 3 z = 3 z 2 w = 3 w

Da primeira e da segunda equação, tiramos que:

x = 2 y

E da última:

w = 0

Então os autovetores vão ser da forma:

v = x , y , z , w = 2 y , y , z , 0

v = 2 y , y , 0,0 + 0,0 , z , 0

v = y 2,1 , 0,0 + z 0,0 , 1,0

E o autoespaço associado a esse autovalor é:

< 2,1 , 0,0 , 0,0 , 1,0 >

Que tem dimensão 2.

Agora vamos fazer o mesmo processo pra achar o autoespaço associado a λ 2 = 2 .

A v = λ v

Vamos ter:

1 4 - 1 5 0 0 0 0 0 0 0 0     3 0     0 2 x y z w = 2 x y z w

x + 4 y = 2 x - x + 5 y = 2 y 3 z = 2 z 2 w = 2 w

Da primeira equação, temos:

x = 4 y

E da segunda:

x = 3 y

A única forma de isso ser verdade é se:

x = y = 0

O mesmo ocorre na terceira equação, de onde tiramos que:

z = 0

Então os autovetores vão ser da forma:

v = x , y , z , w = 0,0 , 0 , w = w 0,0 , 0,1

E o autoespaço associado a esse autovalor é:

< 0,0 , 0,1 >

Que tem dimensão 1.

Somando as dimensões dos autoespaços associados aos dois autovalores de A, vamos ter 3, que é diferente de n = 4 .

Então, a matriz não é diagonalizável e a afirmação é falsa!

Passo 3

A gente poderia seguir o mesmo processo pra ver se a afirmação (II) é verdadeira, mas nesse caso não temos como encontrar os autovetores porque a afirmação trata de uma matriz 3 × 3 qualquer.

Mas foi dito que o polinômio característico é:

( 3 - λ ) ( 2 - λ ) ( 1 - λ )

Então, igualando a zero, encontramos os autovalores:

λ 1 = 3

λ 2 = 2

λ 3 = 1

Como os três autovalores são distintos, essa matriz é diagonalizável e a afirmação (II) é verdadeira.

Cuidado: Toda matriz com autovalores distintos é diagonalizável, mas nem toda matriz diagonalizável tem autovalores distintos!

Então, no caso da afirmação (I), não podemos dizer que a matriz A não é diagonalizável porque ela não tem autovalores distintos, já que essa situação poderia ocorrer e mesmo assim a matriz A poderia ser diagonalizável!

Resposta

(c) (I) é falsa e (II) é verdadeira.

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