Seja T : R 3 ⟶ R 3 dada por:

T x , y , z = ( x + 2 y ,   - 2 x + y ,   3 z )

a   Encontre os autovalores de T e os respectivos autoespaços.

b   A transformação T é diagonalizável? Se sim, dê sua forma diagonal.

Passo 1

a   Para encontrar os autovalores precisamos passar a transformação para uma forma matricial, assim vamos escolher a mais fácil, T ε , sendo ε = 1,0 , 0 , 0,1 , 0 , 0,0 , 1 .

Assim temos que:

T 1,0 , 0 = 1 , - 2,0

T 0,1 , 0 = 2,1 , 0

T 0,0 , 1 = 0,0 , 3

T ε = 1 2 0 - 2 1 0 0 0 3

Passo 2

Para calcular os autovalores vamos fazer det ⁡ T ε - λ I = 0

Assim temos que:

T ε - λ I = 1 - λ 2 0 - 2 1 - λ 0 0 0 3 - λ

E o polinômio característico é:

p λ = 1 - λ 2 ⋅ 3 - λ + 4 3 - λ = 0 ⇒

3 - λ 1 - λ 2 + 4 = 0 ⇒

3 - λ = 0 ∴ λ = 3

Ou

1 - λ 2 + 4 = 0 ∴ 1 - λ 2 = - 4 ∴ λ ∉ R

Passo 3

Para calcular os autovetores:

T ε - 3 I v ε = - 2 2 0 - 2 - 2 0 0 0 0 x y z = 0 ⇒

- 2 x + 2 y = 0 ⇒ 2 y = 2 x ⇒ y = 0 - 2 x - 2 y = 0 ⇒ - 4 x = 0 ⇒ x = 0 0 = 0

Logo quem é nosso autovetor?

0,0 , z = z ( 0,0 , 1 )

Cuidado! Não é o vetor nulo só porque x = y = 0 .

E o autoespaço é:

V λ = 3 = s p a n { 0,0 , 1 }

Passo 4

b   Assim, podemos afirmar que nossa T não é diagonalizável, porque não existe uma base de autovetores para o seu domínio.

Resposta

a   V λ = 3 = s p a n { 0,0 , 1 }

b   T não é diagonalizável, porque não existe uma base de autovetores para o seu domínio.

Exercícios de Livros Relacionados

Seja A =4 0 1 2 3 2 1 0 4 Será A diagonalizável? Justifique sua conclusão.
Dizemos que uma matriz A n × n é diagonalizável se seu operador associado T A : R n → R n for diagonalizável, ou seja, A é diagonalizável se, e somente se A admitir n autovetores L I . Baseado nisto,
Dizemos que uma matriz A n × n é diagonalizável se seu operador associado T A : R n → R n for diagonalizável, ou seja, A é diagonalizável se, e somente se A admitir n autovetores L I . Baseado nisto,
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Dada a matriz: A = 2 1 0 0 0 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 A é diagonalizável?Encontre seu polinômio minimal.