Seja T : R 3 → R 3 uma transformação linear dada por:

T x , y , z = ( x + 3 y - 4 z , y , 2 y - 3 z )

(a) Calcular os autovalores de T.

(b) Calcular os autovetores de T.

(c) T é diagonalizável? Justificar. Em caso afirmativo, encontre uma base na qual a matriz de T é uma matriz diagonal D. E exiba D.

Passo 1

Antes de começar a resolver a questão, vamos escrever T como uma matriz.

Vai ficar assim:

Passo 2

(a) Para calcular os autovalores de T, precisamos encontrar as raízes do polinômio característico, que é:

p λ = d e t ( T - λ I )

Vamos começar então encontrando a matriz T - λ I :

T - λ I = 1 3 - 4 0 1 0 0 2 - 3 - λ 1 0 0 0 1 0 0 0 1

Calculando o determinante e igualando a zero:

1 - λ 1 - λ - 3 - λ = 0

Então achamos os autovalores:

λ = 1

λ = - 3

Passo 3

(b) Para encontrar os autovetores, usamos a definição de autovetor para cada autovalor que achamos na letra (a).

Vamos começar aplicando a definição para o autovalor λ = 1 .

Se v → = ( x , y , z ) é autovetor associado ao autovalor λ = 1 , então:

T v → = λ v →

1 3 - 4 0 1 0 0 2 - 3 x y z = 1 x y z

x + 3 y - 4 z y 2 y - 3 z = x y z

Ficamos então com o sistema:

x + 3 y - 4 z = x y = y 2 y - 3 z = z

Da primeira equação, tiramos que:

x + 3 y - 4 z = x

3 y - 4 z = 0

y = 4 3 z

Substituindo na terceira:

2 4 3 z = 4 z

z = 0

Logo:

y = 0

E a solução do sistema vai ser dada por:

v → = x , y , z = x , 0,0 = x 1,0 , 0

Portanto, o autoespaço é:

V λ 1 = [ 1,0 , 0 ]

Agora vamos fazer a mesma coisa para o autovalor λ = - 3 .

Se v → = ( x , y , z ) é autovetor associado ao autovalor λ = - 3 , então:

T v → = λ v →

1 3 - 4 0 1 0 0 2 - 3 x y z = - 3 x y z

x + 3 y - 4 z y 2 y - 3 z = - 3 x - 3 y - 3 z

Vamos ficar com o sistema:

x + 3 y - 4 z = - 3 x y = - 3 y 2 y - 3 z = - 3 z

Da segunda equação, tiramos que:

y = 0

Substituindo na primeira:

x - 4 z = - 3 x

- 4 z = - 4 x

z = x

Então, a solução vai ser dada por vetores da forma:

v → = x , y , z = x , 0 , x = x 1,0 , 1

E o autoespaço é:

V λ 2 = [ 1,0 , 1 ]

Passo 4

(c) Lembra que uma matriz A n × n é diagonalizável somente se a soma das dimensões dos autoespaços associados a cada autovetor de A é n??

A nossa matriz é uma matriz 3 × 3 , e já calculamos os autoespaços associados a cada autovalor no item (b).

Nós vimos que:

V λ 1 = [ 1,0 , 0 ]

V λ 2 = [ 1,0 , 1 ]

Então:

D i m V λ 1 + D i m V λ 2 = 1 + 1 = 2

que é menor do que 3.

Logo, T não é diagonalizável.

Resposta

(a) λ = 1 e λ = - 3

(b) V λ 1 = [ 1,0 , 0 ] e V λ 2 = [ 1,0 , 1 ]

(c) T não é diagonalizável.

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