Seja T : U ⟶ U uma transformação linear. Usaremos as notações T 2 = T ∘ T e T 3 = T ∘ T ∘ para denotar composições de T . Suponha que:

  1. T 3 v = 0 para todo v ∈ U ,
  2. Existe v 0 ∈ U tal que T 2 v 0 ≠ 0

Chamamos esse tipo de transformação de nilpotente de ordem 3 .

b   Mostre que 0 é o único autovalor de T

(Dica: comece com um autovetor de T .)

c   Mostre que T não é diagonalizável .

(Dica: como seria a matriz de T se fosse diagonalizável?)

Passo 1

Letra ( b )

Vamos supor que T tenha um autovetor v associado a um autovalor λ .

Sendo assim:

T v = λ v ⇒ T 2 v = λ T v ⇒ T 2 v = λ 2 v ⇒ T 3 v = λ 3 v

Mas como T 3 v = 0 para todo v ∈ U :

λ 3 v = 0

O que nos leva a pensar que ou λ 3 = 0 ⇒ λ = 0 ou v = 0 (lembre-se que v é um vetor, mas a ideia é a mesma que usamos para números). Mas como v é um autovetor não pode ser nulo e então só nos resta que λ = 0 .

Passo 2

-

Letra ( c )

Usando a dica do enunciado, se a T fosse diagonalizável, sua matriz diagonal seria composta de autovalores 0 , pois só existe o autovalor 0 nessa T , portanto a sua matriz diagonal seria a matriz nula! Até ai sem problemas, mas vamos lembrar que se γ é uma base de autovetores:

D = T γ ⇒ D 2 = T 2 γ

Lembre-se da relação:

T γ ⋅ T γ = T ∘ T γ = T 2 γ

Assim, se pegarmos aquele v 0 do enunciado:

T 2 v 0 γ = 0 = T 2 v 0 γ ⇒

T 2 v 0 = 0

O que contradiz a informação do enunciado, o que torna impossível a T ser diagonalizável.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Exercícios de Livros Relacionados

Seja A =4 0 1 2 3 2 1 0 4 Será A diagonalizável? Justifique sua conclusão.
Dizemos que uma matriz A n × n é diagonalizável se seu operador associado T A : R n → R n for diagonalizável, ou seja, A é diagonalizável se, e somente se A admitir n autovetores L I . Baseado nisto,
Dizemos que uma matriz A n × n é diagonalizável se seu operador associado T A : R n → R n for diagonalizável, ou seja, A é diagonalizável se, e somente se A admitir n autovetores L I . Baseado nisto,
Dizemos que uma matriz A n × n é diagonalizável se seu operador associado T A : R n → R n for diagonalizável, ou seja, A é diagonalizável se, e somente se A admitir n autovetores L I . Baseado nisto,
Dada a matriz: A = 2 1 0 0 0 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 A é diagonalizável?Encontre seu polinômio minimal.