Seja A = a 1 0 a a matriz associada a uma transformação linear T. Para quais valores de a T é diagonalizável?

Passo 1

Vamos começar calculando os autovalores de A.

Para isso, precisamos encontrar as raízes do polinômio característico, que é:

p λ = d e t ( A - λ I )

Vamos então encontrar a matriz A - λ I :

A - λ I = a 1 0 a - λ 1 0 0 1

A - λ I = a - λ 1 0 a - λ

Calculando o determinante dessa matriz e igualando a zero, vamos ter:

a - λ 1 0 a - λ = 0

a - λ 2 = 0

Logo, temos um único autovalor:

λ = a

Agora vamos aplicar a definição de autovetor para encontrar os autovetores de A.

Se v → = ( x , y ) é autovetor associado ao autovalor λ = a , então:

A v → = λ v →

a 1 0 a x y = a x y

a x + y a y = a x a y

Temos o sistema:

a x + y = a x a y = a y

Da primeira equação, tiramos que:

y = 0

Então os autovetores são:

v → = x , 0 = x 1,0

E o autoespaço é:

V λ = 1,0

Como a matriz é 2 x 2 e:

D i m V λ = 1 < 2

Ela não é diagonalizável!

Não esquece que uma matriz A n × n é diagonalizável somente se a soma das dimensões dos autoespaços associados a cada autovetor de A é n.

Repara que em nenhum momento precisamos colocar restrições para o valor de a.

Qualquer que seja a, o resultado vai ser o mesmo.

Então, não existem valores de a que a tornem diagonalizável.

Resposta

A não é diagonalizável para nenhum valor de a.

Exercícios de Livros Relacionados

Seja A =4 0 1 2 3 2 1 0 4 Será A diagonalizável? Justifique sua conclusão.
Dizemos que uma matriz A n × n é diagonalizável se seu operador associado T A : R n → R n for diagonalizável, ou seja, A é diagonalizável se, e somente se A admitir n autovetores L I . Baseado nisto,
Dizemos que uma matriz A n × n é diagonalizável se seu operador associado T A : R n → R n for diagonalizável, ou seja, A é diagonalizável se, e somente se A admitir n autovetores L I . Baseado nisto,
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Dada a matriz: A = 2 1 0 0 0 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 A é diagonalizável?Encontre seu polinômio minimal.