Seja T : R 3 → R 3 a transformação linear dada por T x , y , z = 2 x + z , 5 x - 3 y + z , - 3 z .

b T é diagonalizável? Se sim, encontre uma base β onde T β β é uma matriz diagonal.

Passo 1

Se T for diagonalizável ela possui uma base de autovetores. Vamos encontrar esses autovetores então:

p λ = 2 - λ 0 1 5 - 3 - λ 1 0 0 - 3 - λ = 2 - λ - 3 - λ 2

As raízes do polinômio característico são:

2 - λ - 3 - λ 2 = 0

λ 1 = 2

λ 2 = λ 3 = - 3

Passo 2

Encontrando os autoespaços associados:

λ = 2 :

2 - 2 0 1 5 - 3 - 2 1 0 0 - 3 - 2 0 0 0 = 0 0 1 5 - 5 1 0 0 - 5 0 0 0

z = 0 5 x - 5 y + z = 0 ⇒ x = y

O autoespaço associado ao autovalor 2 é: V λ = 2 = x , x , 0 = x 1,1 , 0 = 1,1 , 0

λ = - 3 :

2 + 3 0 1 5 - 3 + 3 1 0 0 - 3 + 3 0 0 0 = 5 0 1 5 0 1 0 0 0 0 0 0

5 x + z = 0 ⇒ z = - 5 x

O autoespaço associado ao autovalor - 3 é:

V λ = - 3 = x , y , - 5 x = x 1,0 , - 5 + y 0,1 , 0 = 1,0 , - 5 , 0,1 , 0

A soma das dimensões dos autovetores é igual a dimensão do domínio ( 3 ), logo, a matriz é diagonalizável.

Passo 3

Como a matriz é diagonalizável, temos que a base β onde T β β é uma matriz diagonal é uma base de autovetores: β = 1,1 , 0 , 1,0 , - 5 , 0,1 , 0

Resposta

b Sim. β = 1,1 , 0 , 1,0 , - 5 , 0,1 , 0

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