Seja T : R 3 ⟶ R 3 a reflexão (espelhamento) em relação ao plano π e

T γ = - 1 0 - 2 2 1 2 0 0 1

A matriz de T na base γ = { v 1 ,   v 2 , v 3 } de R 3 .

( c ) Sabendo que δ = { u 1 , u 2 , u 3 } é uma base de R 3 cujos elementos são autovetores de T , sendo u 1 e u 2 associados ao mesmo autovalor, encontre T δ .

( d ) Dê um exemplo de um subespaço vetorial H de R 3 tal que as duas seguintes condições sejam satisfeitas:

  • H não é autoespaço de T , mas é invariante por T
  • dim ⁡ H = 2

Passo 1

Letra ( c )

Bom, nessa questão, o que ele está pedindo nada mais é do que a matriz diagonal dos autovetores. Lembre-se que essa matriz é a matriz que representa T escrita na base dos autovetores!

Então vamos achar os autovalores com T γ , já que matrizes em bases diferentes possuem os mesmos autovalores!

T γ - λ I = - 1 - λ 0 - 2 2 1 - λ 2 0 0 1 - λ

det ⁡ T γ - λ I = - 1 - λ 1 - λ 2 = 0 ⇒ λ = - 1   o u   λ = 1

Passo 2

Como podemos ver que o segundo autovalor λ = 1 possui multiplicidade 2 , pois é duas vezes raiz do polinômio característico, então se trata do autovalor associado a u 1 e u 2 , então eles vêm primeiro na matriz diagonal.

Então o último autovalor vem por último.

T δ = 1 0 0 0 1 0 0 0 - 1

Passo 3

Letra ( d )

Uma possível solução é juntar autovetores de autoespaços diferentes, assim esse novo conjunto não é um autoespaço e satisfaz a condição de invariante e da dimensão.

Para λ = 1

- 2 0 - 2 2 0 2 0 0 0 a b c = 0 ⇒

- 2 a - 2 c = 0 2 a + 2 c = 0 ⇒ a = - c

x , y , z = a v 1 + b v 2 + c v 3 ⇒

x , y , z = c v 3 - v 1 + b v 2

V λ = 1 = s p a n { v 3 - v 1 , v 2 }

Passo 4

Para λ = - 1

0 0 - 2 2 2 2 0 0 2 a b c = 0

- 2 c = 0 ⇒ c = 0 2 a + 2 b + 2 c = 0 ⇒ a = - b 2 c = 0

x , y , z = - b v 1 + b v 2 = b ( - v 1 + v 2 )

V λ - 1 = s p a n { - v 1 + v 2 }

Passo 5

Assim, se pegarmos H = s p a n { - v 1 + v 2 , v 2 } , esse não será o autoespaço de nenhum autovalor e ainda satisfaz a condição de invariante.

T H = s p a n T - v 1 + v 2 , T v 2 = s p a n   - 1 - v 1 + v 2 , v 2 ⊂ H

OBS: Não só é contido como é igual.

Resposta

( c ) T δ = 1 0 0 0 1 0 0 0 - 1

( d ) H = s p a n { - v 1 + v 2 , v 2 }

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Dizemos que uma matriz A n × n é diagonalizável se seu operador associado T A : R n → R n for diagonalizável, ou seja, A é diagonalizável se, e somente se A admitir n autovetores L I . Baseado nisto,
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Dada a matriz: A = 2 1 0 0 0 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 A é diagonalizável?Encontre seu polinômio minimal.