Sejam A , B e C matrizes quadradas tal que C = A B :

  1. Se A e B são diagonalizáveis, então C é diagonalizável.
  2. Se A e B não são diagonalizáveis, então C não é diagonalizável.

( a ) I é verdadeira e I I é falsa

( b ) I é falsa e I I é falsa

( c ) I é falsa e I I é verdadeira

( d ) I é verdadeira e I I é verdadeira

Passo 1

Beleza, vamos usar um pouco a cabeça nessa haha. Vou dar alguns contra exemplos dessas afirmações ;)

Afirmativa I :

Bom, aparentemente não tem nenhuma propriedade, nem nada do tipo que garanta pra gente que o produto de matrizes diagonalizáveis vai ser sempre diagonalizável. E de fato, essa é falsa! Vou te dar um exemplo:

1 2 2 1 - 1 1 2 1 = 3 3 0 3

As duas primeiras matrizes são diagonalizáveis (pode conferir se quiser), mas o resultado não é! A matriz C nesse caso só tem uma direção de autovetores e portanto não é diagonalizável. Então essa é falsa.

Essa afirmativa é particularmente difícil de se provar errada sem um contra exemplo. Se serve de consolo essa era uma questão que valia ponto extra na prova, por isso a dificuldade haha.

Passo 2

Afirmativa I I :

Para uma matriz ser diagonalizável ela deve possuir uma base de autovetores certo? Então se pegarmos duas matrizes no R 2 : A uma rotação de 90 ° no sentido horário e B uma rotação de 90 ° no sentido anti-horário, ambas não são diagonalizáveis certo? Afinal, elas não tem nenhum autovetor!

Mas se fizermos o produto delas veremos que uma gira um vetor de 90 ° pra um lado, e a outra gira ele de volta de 90 ° para o outro lado! Ou seja, ele permanece parado!

Nesse caso, temos que A B = C = I , já que se aplicarmos A B em qualquer vetor ele fica parado. E I não só é diagonalizável, como já é até diagonal haha. Logo, essa é falsa.

Resposta

Letra ( b )

Exercícios de Livros Relacionados

Seja A =4 0 1 2 3 2 1 0 4 Será A diagonalizável? Justifique sua conclusão.
Dizemos que uma matriz A n × n é diagonalizável se seu operador associado T A : R n → R n for diagonalizável, ou seja, A é diagonalizável se, e somente se A admitir n autovetores L I . Baseado nisto,
Dizemos que uma matriz A n × n é diagonalizável se seu operador associado T A : R n → R n for diagonalizável, ou seja, A é diagonalizável se, e somente se A admitir n autovetores L I . Baseado nisto,
Dizemos que uma matriz A n × n é diagonalizável se seu operador associado T A : R n → R n for diagonalizável, ou seja, A é diagonalizável se, e somente se A admitir n autovetores L I . Baseado nisto,
Dada a matriz: A = 2 1 0 0 0 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 A é diagonalizável?Encontre seu polinômio minimal.