A transformação linear T realiza a projeção ortogonal dos vetores de R 3 no plano 2 x - 5 y + 8 z = 0 , seguida da multiplicação por 2 . Então é FALSO afirmar que:

a   O posto de T é igual a 2

b   T não é invertível

( c ) T é diagonalizável

( d ) 1 e 0 são autovalores de T

Passo 1

Vamos analisar letra por letra:

Letra a

T é uma transformação que projeta os vetores sobre um plano e depois duplica eles. Logo, seu núcleo é a reta ortogonal ao plano (que é levada no 0 ).

Como a transformação acontece no R 3 e o núcleo tem dimensão 1 , pelo T N I a dimensão da imagem (posto da T L ) é 2 . Verdadeira.

Letra b

Para T ser invertível ela precisa ser injetiva. Mas sabemos que o núcleo dela é uma reta, logo ela não é injetiva e também não é invertível. Verdadeira.

Letra c

Bom, a T L primeiro projeta tudo em um plano. Então tem autovalor 0 associado à reta ortogonal ao plano e autovalor 1 associado ao plano.

Em seguida, ela duplica todos os vetores. Os que eram paralelos ao plano continuam no 0 pois 2 ∙ 0 = 0 .

Os que não eram paralelos nem estavam no plano foram projetados e depois duplicados então sua direção foi alterada.

Os que estavam no plano ficaram inalterados depois da projeção e em seguida foram duplicados! Ou seja, tiveram sua direção preservada e ainda foram multiplicados por 2 .

Logo, temos uma reta associada ao autovalor 0 e um plano associado ao autovalor 2 . A soma da dimensão dos autoespaços é igual à dimensão do domínio da transformação 3 , então, ela é diagonalizável. Verdadeira.

Letra d

Na letra c vimos que os autovalores são 0 e 2 e não 0 e 1 . Essa é falsa.

Resposta

Letra ( d )

Exercícios de Livros Relacionados

Seja A =4 0 1 2 3 2 1 0 4 Será A diagonalizável? Justifique sua conclusão.
Dizemos que uma matriz A n × n é diagonalizável se seu operador associado T A : R n → R n for diagonalizável, ou seja, A é diagonalizável se, e somente se A admitir n autovetores L I . Baseado nisto,
Dizemos que uma matriz A n × n é diagonalizável se seu operador associado T A : R n → R n for diagonalizável, ou seja, A é diagonalizável se, e somente se A admitir n autovetores L I . Baseado nisto,
Dizemos que uma matriz A n × n é diagonalizável se seu operador associado T A : R n → R n for diagonalizável, ou seja, A é diagonalizável se, e somente se A admitir n autovetores L I . Baseado nisto,
Dada a matriz: A = 2 1 0 0 0 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 A é diagonalizável?Encontre seu polinômio minimal.