A transformação linear T realiza a reflexão ortogonal dos vetores de R 3 pelo plano x + y - z = 0 , seguida da multiplicação por 3 . Então é FALSO afirmar que:

a   Dimensão do núcleo de T é igual a 0

b   T é diagonalizável

c   T é invertível

d   1 e - 1 são autovalores de T

Passo 1

Tá, nós refletimos os vetores por um plano e depois multiplicamos tudo por 3 . Então vamos ler as afirmativas:

a “Dimensão do núcleo de T é igual a 0

Como estamos trabalhando com matrizes quadradas as coisas ficam bem mais fáceis. Se essa fosse falsa, a dimensão do núcleo seria maior que zero. Logo, precisaríamos ter o autovalor zero. Como estamos refletindo e multiplicando, nenhum vetor vai ser levado no zero! Logo, não temos autovalor zero. Essa é verdadeira.

Passo 2

b T é diagonalizável”

Repare que, nesse caso, temos o plano x + y - z = 0 associado ao autovalor 3 e a reta dada pelo vetor 1,1 , - 1 associada ao autovalor - 3 !

Porque ao refletimos pelo plano, os vetores do plano ficam imóveis e depois são multiplicados por 3 . Logo, autovalor 3 .

Já os vetores da reta ortogonal ao plano trocam de direção e também são multiplicados por 3 , logo, acabam multiplicados por - 3 . Autovalor - 3 !

A soma das dimensões dos autoespaços é:

2 + 1 = 3 = dim ⁡ D o m T

Logo, T é sim diagonalizável. Verdadeira.

Passo 3

c T é invertível”

Já vimos no Passo 1 que a dimensão do núcleo de fato é 0 . Como dim ⁡ D o m T = dim ⁡ I m T e dim ⁡ N u c T = 0 , a T L é invertível. Verdadeira.

Passo 4

d 1 e - 1 são autovalores de T

Como analisamos no Passo 2, os autovalores de T são 3 e - 3 . Essa é a falsa.

Resposta

Letra d

Exercícios de Livros Relacionados

Seja A =4 0 1 2 3 2 1 0 4 Será A diagonalizável? Justifique sua conclusão.
Dizemos que uma matriz A n × n é diagonalizável se seu operador associado T A : R n → R n for diagonalizável, ou seja, A é diagonalizável se, e somente se A admitir n autovetores L I . Baseado nisto,
Dizemos que uma matriz A n × n é diagonalizável se seu operador associado T A : R n → R n for diagonalizável, ou seja, A é diagonalizável se, e somente se A admitir n autovetores L I . Baseado nisto,
Dizemos que uma matriz A n × n é diagonalizável se seu operador associado T A : R n → R n for diagonalizável, ou seja, A é diagonalizável se, e somente se A admitir n autovetores L I . Baseado nisto,
Dada a matriz: A = 2 1 0 0 0 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 A é diagonalizável?Encontre seu polinômio minimal.