Exercícios Resolvidos de Mostrar que o Limite Não Existe em Funções de Várias Variáveis

USP, Cálculo 2, P1 - 2013, Questão 2

Considere a função f x , y = x 3 + 2 x - 3 y 2 e seja C a curva de nível de f que passa pelo ponto 3,0 .

  1. Represente geometricamente o domínio de f e Faça um esboço da curva C .
  2. Determine uma parametrização para a curva C , isto é, encontre um intervalo I e uma função γ : I R 2 contínua cuja imagem é C .
  3. Decida se existe l i m x , y 0,1 f ( x , y )

Passo 1

a) Para determinarmos o domínio de uma função, devemos procurar por “problemas” que poderíamos vir a ter. Nesse caso, o único fator que limita o domínio da função é a raiz quadrada no denominador, que deve sempre ser maior que 0 (pois está no denominador, e não poderia ser menor que 0 porque é uma raiz). Assim, podemos afirmar que:

3 + 2 x - 3 y 2 > 0

E desenvolvendo, teremos:

2 x > 3 y 2 - 3

x > 3 2 y 2 - 3 2

E o nosso domínio fica sendo o conjuntos dos pontos x , y tais que x > 3 2 y 2 - 3 2 .

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Passo 2

Como o enunciado pede pra dar a interpretação geométrica do domínio, é só a gente esboçar a curva x = 3 2 y 2 - 3 2 e depois pegar a região denotada por x > 3 2 y 2 - 3 2 .

Bom, temos um termo isolado de potência 1 e outro ao quadrado do lado direito. Isso só pode ser uma parábola!! De fato, é uma parábola, mas deitada (perceba, temos x em função de y , é uma parábola com os eixos trocados ;) ), com o vértice em 0 , - 3 2 e apontando no sentido positivo do eixo x . Podemos concluir esses dois últimos fatos porque o coeficiente de y 2 é positivo, e se fizermos y = 0 temos x = - 3 2 !

Assim, nossa curva é a parábola:

E a região que encontramos para o domínio é x > 3 2 y 2 - 3 2 , ou seja, os pontos sempre a direita da linha da parábola, excluindo a própria linha, pois o sinal é de > e não

Passo 3

Agora temos que encontrar essa curva C de nível que contém o ponto 3,0 . Bom, antes de mais nada, temos que descobrir qual é esse nível!!

Para isso, basta substituirmos o ponto dado na função. Fica assim:

f 3,0 = 3 3 + 2.3 - 3 . 0 2 = 3 9 = 1

Simples assim!

Passo 4

Agora que temos o nível, vamos igualar a função a essa constante, e então encontrar a equação para a curva C .

f x , y = x 3 + 2 x - 3 y 2 = 1

x = 3 + 2 x - 3 y 2

Aqui vem um detalhe importante, perceba que o x é igual a uma raiz! Só por isso já poderíamos afirmar que x 0 . Mas acontece que o argumento da raiz quadrada tem umas particularidades. Veja que se colocássemos x = 0 , teríamos f x , y = 0 3 + 2.0 - 3 y 2 , ou seja, 0 sobre alguma coisa dá 0 ! Então não seria uma curva de nível 1 , pois o valor de f x , y seria 0 , e o y não conseguiria “compensar”.

Continuando...

x = 3 + 2 x - 3 y 2

x 2 = 3 + 2 x - 3 y 2

x 2 - 2 x + 3 y 2 = 3

Podemos completar o quadrado para o x , somando 1 de cada lado:

x 2 - 2 x + 1 + 3 y 2 = 3 + 1

x - 1 2 + 3 y 2 = 4

x - 1 2 4 + y 2 4 3 = 1

E eis aí equação da nossa curva C !! Vamos ver que curva é essa?

Passo 5

Temos a curva:

x - 1 2 4 + y 2 4 3 = 1

Que tem ambas as variáveis somadas e elevadas ao quadrado. E, além disso, os denominadores dessas variáveis são diferentes... É uma elipse! Veja, pela equação da elipse fica mais fácil de perceber:

x - x 0 2 a 2 + y - y 0 2 b 2 = 1

Sendo que seus vértices estão em a + x 0 , 0 e a + x 0 , 0 , ou seja, - 1,0 e 3,0 .

Mas, não esqueça do que falamos ali em cima, x > 0 !! Então, na prática, temos uma parte da elipse, apenas. Que é a do lado positivo do eixo x :

Passo 6

b) Vamos parametrizar essa “elipse”? Bom, me parece mais fácil parametrizar a elipse toda, como se não tivéssemos essa parada de x > 0 , e depois restringir o parâmetro. Vamos lá?

Se temos uma elipse genérica, x - x 0 2 a 2 + y - y 0 2 b 2 = 1 , então sabemos que sua parametrização é:

x t = x 0 + a cos t y t = y 0 + b sin t

Então, olhando pra isso, a parametrização da nossa elipse x - 1 2 4 + y 2 4 3 = 1 será:

x t = 1 + 2 cos t y t = 2 3 sin ��� t

�� t = 1 + 2 cos t , 2 3 sin t

Passo 7

Legal, agora temos que adicionar a restrição para completar a parametriza��ão! Como x > 0 e x = 1 + 2 cos t , temos que 1 + 2 cos t > 0 .

Assim, prosseguimos dizendo que 2 cos t > - 1 e, portanto, cos t > - 1 2 . Para atender a este requisito, t deve estar entre - 2 π 3 e 2 π 3 .

E a parametrização fica sendo:

  x t = 1 + 2 cos t y t = 2 3 sin t   ,   t - 2 π 3 , + 2 π 3

Passo 8

  1. Vamos ver agora se l i m x , y 0,1 f ( x , y ) existe.

Da equação do enunciado, temos:

f x , y = x 3 + 2 x - 3 y 2

Agora vamos testar o limite pela curva β t = t , 1 . Assim, teremos y = 1 e t 0 :

l i m t 0   t 3 + 2 t - 3 . 1 2

l i m t 0   t 2 t

l i m t 0 1 2   .   t .   t - 1 2

l i m t 0 1 2   t 1 2 = 0

Ok, acabamos de ver que, por essa curva, teremos um limite que vale 0 .

Passo 9

Agora, vamos, por exemplo, testar a curva do item b , que, afinal, está contida na superfície de f , por ser uma curva de nível!

Para que x , y 0,1 na curva γ t = 1 + 2 cos t , 2 3 sin t , teremos que:

1 + 2 cos t = 0

cos t = - 1 2

t = 2 π 3

E, apenas conferindo, se colocarmos t = 2 π 3 para a coordenada y , teremos:

2 3 sin 2 π 3 = 2 3   . 3 2 = 1

Ou seja, temos o ponto 0,1 quando o parâmetro t vale 2 π 3 .

Então, o limite será:

l i m t 2 π 3   f γ t

Mas calma, a curva γ t não é uma curva de nível da função? Então, sabemos que o valor da função para qualquer ponto dessa curva é o valor do nível! Ou seja, f γ t = 1 !

Então, o limite fica sendo:

l i m t 2 π 3     1 = 1

E acabamos de provar que o limite não existe! Pois se por uma curva ele assume um valor e por outra assume outro, então ele não existe ;)

Resposta

a)

b)   C = γ t = 1 + 2 cos t , 2 3 sin t

c)O limite não existe, pois encontramos dois valores diferentes para ele em duas curvas diferentes

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