Exercícios Resolvidos de Propriedades de Derivadas

Esboço de Curvas

Considere f : a , b → R a função definida pelo gráfico abaixo.

  1. Indique os pontos onde f ' é zero. (Justifique graficamente, desenhando a reta tangente)
  2. Indique os intervalos onde f ' é positiva. Indique os intervalos onde f ' é negativa. (Justifique graficamente)
  3. Faça um esboço do gráfico da f '
  4. Sabendo que a reta r é tangente ao gráfico da f em x = - 1 , calcule f - 1 e f ' - 1

Passo 1

a )

Ele quer os pontos onde a derivada é 0 , mas quando isso acontece? Lembra que os pontos críticos são quando a derivada é 0 ? Então nos máximos e mínimos dessa função vamos ter a derivada sendo 0 .

Outro detalhe a se perceber é que quando a reta tangente for horizontal vamos ter a derivada sendo 0 , vamos ver o gráfico disso, marcando cada um desses lugares.

Esses sãos os pontos que que a derivada é zero.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b )

Vamos indicar em um gráfico auxiliar embaixo desse onde as derivadas são positivas e negativas, mas vale lembrar que quando a derivada for positiva a função é crescente e quando a derivada for decrescente a derivada vai ser negativa. Então vamos ter

Passo 3

c )

Para esboçarmos o gráfico da derivada temos que entender o que essa análise de sinal que fizemos antes significa.

Sempre que a derivada mudar de sinal é porque ela foi 0 , ou seja, são as raízes da derivada, entre uma raiz e outra devemos ter um extremo relativo, isso porque para “voltar” para o eixo devemos uma hora deixar de ser crescente e passar a ser decrescente e vice versa. O esboço vai ficar algo assim

Passo 4

d )

Para achar essa reta é um pouco complicado, não temos a sua inclinação, mas temos um ponto dela que é 0,1 , outro ponto dela seria - 1 , f - 1 mas não sabemos f - 1 , repara que temos um terceiro ponto que podemos achar, que é - 9 4 , 0

A equação da reta s vai ser

y - 1 x - 0 = 0 - 1 - 9 4 - 0

y - 1 x = 1 9 / 4

y - 1 x = 4 9

Multiplicando cruzado

9 y - 9 = 4 x

9 y = 4 x + 9

y = 4 9 x + 1

Passo 5

b )

A reta tangente que passa por x = - 1 vai ser

y - f - 1 x - - 1 = f ' - 1

y - f - 1 x + 1 = f ' - 1

Multiplicando cruzado vamos ter

y - f - 1 = f ' - 1 x + f ' - 1

y = f ' - 1 x + f ' - 1 + f - 1

Comparando essa reta com a equação que achamos no passo anterior, vamos ter

y = f ' - 1 x + f ' - 1 + f - 1

y = 4 9 x + 1

f ' - 1 = 4 9

f ' - 1 + f - 1 = 1

Com isso já sabemos a derivada, que vai ser

f ' - 1 = 4 9

Substituindo na segunda equação que achamos vamos ter

4 9 + f - 1 = 1

f - 1 = 1 - 4 9

f - 1 = 9 - 4 9

f - 1 = 5 9

Resposta

  1. f ' - 1 = 4 9         e         f - 1 = 5 9

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