Encontre as derivadas das seguintes funções

f x = x c o t g ( x )

Passo 1

E aí, galerinha! Agora a gente tem ali um polinômio também, porém começou a aparecer as funções trigonométricas que vou te falar, eu NUNCA sei qual é a derivada de t g ( x ) e muito menos de c o t g ( x ) , mas sabe o que eu faço SEMPRE? Eu abro esses carinhas em seno e cossenos, porque as derivadas desses dois caras sim, eu conheço!!!

Então por exemplo,

c o t g x = 1 t g x = 1 s e n x cos ⁡ x = cos ⁡ x s e n x

Opa, então eu posso escrever minha f ( x ) na verdade como sendo:

f x = x cos ⁡ x s e n x

E adivinha? Vamos aplicar a regra do produto e quociente nesse rolê!!

Passo 2

Vamos chamar f x = P x M x

E assim, temos que: f ' x = P ' x M x + P x M ' ( x )

Porém perceba que vamos chamar P x = x e M x = cos ⁡ x / s e n ( x ) e com isso quando formos derivar M ' ( x ) vamos ter que aplicar a regra do quociente, beleza?

Então pela regra do quociente temos:

M ' x = - s e n x s e n x - cos ⁡ x cos ⁡ x s e n 2 x = - 1 s e n 2 x

Como P x = x → P ' x = 1

Passo 3

Substituindo em f ' x = P ' x M x + P x M ' x

f ' x = 1 × cos ⁡ x s e n x - x s e n 2 x

Logo, temos que:

f ' x = cos ⁡ x s e n x - x s e n 2 x

f ' x = c o t g x - x   c o s s e c 2 ( x )

Lembrando que c o s s e c x = 1 s e n x

Resposta

f ' x = c o t g x - x   c o s s e c 2 ( x )

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