4 Considere a função f x = 3 x 4 + 2 x 3 - 3 x 2 + 2 x

a) Determine a equação cartesiana da reta tangente ao gráfico de f ( x ) no ponto de abscissa x = - 1 .

b) Obtenha três pontos A ,   B e C pertencentes ao gráfico de f ( x ) , para os quais as retas tangentes são paralelas à reta y = 2 x - 1

Passo 1

Fala meus chuchuzinhos da UFPE, bora matar essa questão de Cálculo 1?

Nessa questão, nós temos uma aplicação de derivada que é, a derivada indica a inclinação da reta tangente da função em um ponto. A gente pode chamar essa inclinação de a .

Uma reta possui uma equação cartesiana que é dada por:

r x = a x + b

E como queremos a reta que é tangente a função no ponto x = - 1 , vamos encontrar a derivada dessa função para x = - 1 e essa derivada será exatamente a inclinação a da reta.

Para encontrar o valor de b da reta, vamos utilizar o que sabemos dela, que basicamente é, essa reta é tangente ao gráfico de f ( x ) em x = - 1 , isso significa que em x = - 1 , o valor da ponto na reta é igual ao valor do ponto na função, sendo assim, podemos encontrar o r x da reta nesse ponto encontrando o f x da função nesse ponto.

Matematicamente, podemos dizer que:

f - 1 = r - 1

Vamos lá!

Passo 2

Primeiramente, vou encontrar a inclinação da nossa reta tangente, encontrando a derivada da função f x em x = - 1 .

f ' x = 12 x 3 + 6 x 2 - 6 x + 2

f ' - 1 = 12 - 1 3 + 6 - 1 2 - 6 - 1 + 2

f ' - 1 = - 12 + 6 + 6 + 2 = 2

Agora que eu sei a inclinação da reta, eu sei que a equação da reta é algo assim:

r x = 2 x + b

Passo 3

Precisamos encontrar esse coeficiente b ... Bom, vamos encontrar um ponto dessa reta, encontrando o valor de f ( x ) , pois como a reta é tangente à f ( x ) em x = - 1 , isso é o mesmo que falar que

f - 1 = r - 1

Vamos encontrar então o nosso f - 1

f - 1 = 3 - 1 4 + 2 - 1 3 - 3 - 1 2 + 2 - 1

= 3 - 2 - 3 - 2 = - 4

Portanto:

- 4 = r - 1

- 4 = 2 - 1 + b

- 4 = - 2 + b

b = - 2

Sendo assim a equação cartesiana da reta tangente ao gráfico em x = - 1 é:

r x = 2 x - 2

Passo 4

Para a letra b, queremos encontrar três pontos A ,   B   e   C que pertençam ao gráfico de f ( x ) e que possuem reta tangente que são paralelas à reta y = 2 x - 1

Essa reta possui uma inclinação a = 2 , certo?

Para ser paralelo à essa reta, só basta você ser uma reta com inclinação a = 2 , basicamente esse é o conceito de ser paralelo, possuir a mesma inclinação. Então, o que queremos encontrar aqui é basicamente quais são os pontos em que a derivada da função vale 2.

f ' x = 2

Lembrando a nossa derivada que é:

12 x 3 + 6 x 2 - 6 x + 2 = 2

Podemos aqui passar o 2 para a esquerda, de forma que igualamos a equação a zero e temos:

12 x 3 + 6 x 2 - 6 x = 0

Os valores de x que respeitam a equação acima, são pontos onde a derivada vale 2 .

Como não temos nenhum termo independente, certamente x 0 = 0 é um valor correto, pois zera todos os termos da esquerda, portanto, podemos reescrever a equação como:

12 x 2 + 6 x - 6 x - x 0 = 0

12 x 2 + 6 x - 6 x = 0

Podemos encontrar os demais valores de x encontrando as raízes de 12 x 2 + 6 x - 6 e para isso vamos usar Bhaskara.

Δ = 36 - 4 12 - 6

Δ = 324

x = - 6 ± 324 2 12

x = - 6 ± 18 24 = - 1 ± 3 4

x 1 = 1 2     e   x 2 = - 1

Portanto, encontramos os valores x desses pontos com derivada igual a 2 . Agora vamos encontrar os valores y desses pontos.... como sabemos que eles pertencem a função, é só substituir os valores de x na nossa função que encontraremos os valores de y dos nossos pontos:

x 0 = 0

y 0 = 3 0 4 + 2 0 3 - 3 0 2 + 2 0 = 0

Portanto, A = 0,0

Agora vamos fazer B ...

x 1 = 1 2

y 1 = 3 1 2 4 + 2 1 2 3 - 3 1 2 2 + 2 1 2

y 1 = 3 16 + 2 8 - 3 4 + 2 2 = 3 16 + 1 4 - 3 4 + 1

y 1 = 3 16 - 2 4 + 1

y 1 = 3 - 8 + 16 16 = 11 16

Portanto, B = 1 2 , 11 16

E por fim, o ponto C ...

x 2 = - 1

y 2 = 3 - 1 4 + 2 - 1 3 - 3 - 1 2 + 2 - 1

y 2 = 3 - 2 - 3 - 2 = - 4

Portanto, C = - 1 ,   - 4 !

Resposta

a)

r x = 2 x - 2

b)

A = 0,0

B = 1 2 , 11 16

C = - 1 , - 4

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