Questão 1:

b) Considere a função g : 0 ,   + ∞ → R dada por

g x = 3 x 2 x + a

Sabendo que y = 3 x + 1 é a reta tangente ao gráfico de g no ponto b , g b , determine o valor das constantes reais a e b .

Passo 1

Bem, pela fórmula da reta tangente á um gráfico de função, temos:

y = g ' b x - b + g b

Esse b é sempre a coordenada x do ponto em questão, ou seja, o ponto em que estamos calculando a reta tangente.

Repare que temos três trabalhos a fazer basicamente:

1º - Calcular a derivada da função e aplicar no ponto x = b .

2º - Calcular a função g no ponto: g b .

3º - Comparar com a função da reta tangente no final.

Então vêm comigo !

Passo 2

Começando com a primeira tarefa, vamos derivar a função...

g x = 3 x 2 x + a

Poderíamos aplicar aí a regra da fração, mas é mais trabalhoso. Fica mais fácil se lembrarmos de que x = x 1 2 , e por divisão de potências de mesma base temos...

g x = 3 x 2 x 1 2 + a = 3 x 2 - 1 2 + a

g x = 3 x 3 2 + a

Derivando...

g ' x = 3 3 2 ⋅ x 3 2 - 1 =

9 x 1 2 2 =

9 x 2

Aplicando a derivada no ponto x = b ...

g ' x = 9 x 2         →           g ' b = 9 b 2        

Passo 3

Agora é mais tranquilo, basta aplicar o ponto na função...

g x = 3 x 2 x + a   →

g b = 3 b 2 b + a

Passo 4

Voltando para a equação da reta tangente e substituindo...

y = g ' b x - b + g b   →

y = 9 b 2 x - b + 3 b 2 b + a →

y = 9 b 2 x - 9 b 2 b + 3 b 2 b + a   →        

y = 9 b 2 x + - 9 b 2 b + 3 b 2 b + a

Lembrando que b e a são números reais, esse termo todo dos parênteses é uma constante também. Se compararmos com a equação da reta que o problema nos deu...

y = 3 x + 1

Podemos falar que...

- 9 b 2 b + 3 b 2 b + a = 1

9 b 2 = 3

Determinando b na segunda equação...

9 b = 6     →           b = 6 9     →

Elevando ao quadrado...

b = 2 3 2 = 4 9

Substituindo na primeira equação para determinar a ...

- 9 b 2 b + 3 b 2 b + a = 1         →           - 9 2 ⋅ 2 3 ⋅ 4 9 + 3 2 3 ⋅ 4 9 2 + a = 1         →

  - 4 3 + 9 2 ⋅ 16 81 + a = 1           →

- 12 9 + 8 9 + a = 1       →

- 4 9 + a = 1       →               a = 13 9

Resposta

b = 4 9           e           a = 13 9

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