Suponha que y = f ( x ) é dada implicitamente pela equação y 3 + 2 x y 2 + x = 4 . Suponha que 1 ∈ 𝒟 f .

b ) Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abscissa 1 .

Passo 1

Eaew, tudo certinho?

O enunciado nos deu uma definição implícita de uma função y = f ( x ) , da seguinte forma

y 3 + 2 x y 2 + x = 4

a definição ser implícita tem relação com o fato que não está escrita exatamente no formato de y =   t e r m o s   q u e   d e p e n d e m   d e   x . O enunciado pede para que suponhamos 1 ∈ 𝒟 f e que determinemos a reta tangente ao gráfico de f no ponto em que x = 1 . Para fazermos isso vamos utilizar a equação geral da reta como

y = a x + b

e, como temos que esta é a reta tangente a curva f , podemos identificar que a = f ' ( 1 ) , ou seja, a derivada da função avaliada no ponto P = ( 1 , f ( 1 ) ) . Na alternativa anterior nós calculamos que f ( 1 ) = 1 utilizando o método de Briot Ruffini, dê uma olhada no site se estiver com dúvidas em como fazer isso! Mas aqui apresentei tudo que precisamos para resolver esta alternativa! Bora lá!

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular a derivada de f , mas como f é definida implicitamente, temos que utilizar a regra da cadeia, a função é tal que

y 3 + 2 x y 2 + x = 4

Derivando os dois lados em relação a x , temos que

d d x ( y 3 ) + 2 d d x ( x y 2 ) + d d x ( x ) = d d x ( 4 )

Aqui vamos precisar utilizar a regra da cadeia, a regra do produto e a regra do tombo. Utilizando a regra do produto, tal que

d d x ( f ( x ) g ( x ) ) = d d x [ f ( x ) ] g ( x ) + f ( x ) d d x [ g ( x ) ]

Podemos expandir a nossa derivada como

d d x ( y 3 ) + 2 d d x ( x ) y 2 + 2 x d d x ( y 2 ) + d d x ( x ) = d d x ( 4 )

Vamos utilizar a regra da cadeia! Você lembra dela? Vem comigo!

Passo 3

A regra da cadeia funciona da seguinte maneira, se temos uma função composta definida como

h = f ( g ( x ) )

Temos que a derivada desta função será dada por

d d x ( h ) = d d g f ( g ) d ( g ( x ) ) d x

Aplicando isso em nossa derivada, junto com a regra do tombo

d d x w n = n   w n - 1

Obtemos que a derivada resulta em

3 ( y 3 - 1 ) y ' + 2 ( 1 ) x 1 - 1 y 2 + 2 x ( 2 ) y 2 - 1 y ' + 1 ( x 1 - 1 ) = 0

Ou reescrevendo os termos temos que

3 y 2 y ' + 2 y 2 + 4 x y y ' + 1 = 0

O que queremos é y ' , então basta isolar y ' na equação acima, temos que

y ' = - ( 1 + 2 y 2 ) 4 x y + 3 y 2

Agora é só utilizarmos esta derivada para obter os coeficientes da nossa equação da reta! Saca só!

Passo 4

Temos que o coeficiente angular da reta tangente no ponto P = ( 1 , f ( 1 ) ) é tal que

a = f ' ( 1 )

como obtemos que y ' = f ' ( x ) , usamos a derivada que obtemos no passo anterior para calcular

y ' = f ' ( 1 ) = - ( 1 + 2 ( 1 ) 2 ) 4 ( 1 ) ( 1 ) + 3 ( 1 ) 2

em que usei x = 1 e y = f ( 1 ) = 1 . Resolvendo as somas acima, temos

a = f ' ( 1 ) = - 3 7

A reta tangente pode ser escrita então como

y = - 3 7 x + b

Mas como achamos b ? Usando um ponto que pertence a reta! Como estamos tangente a curva no ponto P = ( 1 , f ( 1 ) = 1 ) , podemos usar esse! Bora lá!

Passo 5

Avaliando o ponto P = ( 1,1 ) em nossa equação da reta, temos que

1 = - 3 7 1 + b

Isolando b temos que

b = 1 + 3 7 = 10 7

Finalmente! A nossa equação da reta tangente é

y = - 3 7 x + 10 7

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

y = - 3 7 x + 10 7

Exercícios de Livros Relacionados

Quantas retas tangentes à curva y = x / ( x + 1 ) passam pelo ponto ( 1 ,2 ) ? Em quais pontos essas retas tangentes tocam a curva?
Se G x = 4 x 2 - x 3 , encontre G ' ( a ) e use-o para encontrar equações das retas tangentes à curva y = 4 x 2 - x 3 nos pontos ( 2 ,8 ) e ( 3,9 ) .Ilustre a parte (a) traçando a curva e as retas tan
Encontre uma equação da reta tangente à curva y = 2 1 + e - x no ponto 0,1 .Ilustre a parte (a) fazendo o gráfico da curva e da tangente na mesma tela.
Encontre a equação da reta tangente à curva no ponto dado y = x - 1 x - 2,( 3,2 )
Esboce o gráfico de uma função f para a qual f 0 = 0 ,f ' 0 = 3,f ' 1 = 0ef ' 2 = - 1