Considere as funções f x = s e n ( x ) e g x = t a n ⁡ ( x ) , ambas definidas no intervalo - π 2 , π 2 .

a) Os gráficos das funções f e g possuem ponto de tangência? Se sim, determine as coordenadas do(s) ponto(s) de tangência e a(s) equação(ões) da(s) reta(s) tangente(s) compartilhada(s) pelos dois gráficos nesse(s) ponto(s).

b) Esboce abaixo os gráficos funções f e g (indique ao lado de cada curva a sua respectiva

equação). Caso tenha(m) sido encontrado(s) ponto(s) de tangência no item anterior, esboce

também a(s) reta(s) tangente(s) aos gráficos das funções f e g no(s) ponto(s) de tangencia.

Passo 1

a) Para que as funções f e g se tangenciem em um ponto que vamos chamar de x 0 , duas coisas precisam acontecer simultaneamente:

f x 0 = g x 0

E

f ' x 0 = g ' ( x 0 )

Podemos montar um sistema com essas duas condições para tentar descobrir o ponto x 0 que está condido no intervalo - π 2 , π 2 .

s e n x 0 = t a n ( x 0 ) s e n ' x 0 = t a n ' ( x 0 ) → s e n x 0 = t a n ( x 0 ) c o s x 0 = sec 2 ⁡ ( x 0 ) → s e n x 0 = t a n ( x 0 ) c o s x 0 = 1 cos 2 ⁡ x 0 → s e n x 0 = t a n ( x 0 ) cos 3 ⁡   x 0 = 1

Da pra tirar alguma conclusão desse sistema? Sim ne? A equação

cos 3 ⁡   x 0 = 1

só é verdadeira se x 0 = 0 . Felizmente esse valor de x 0 também satisfaz a primeira equação:

s e n 0 = t a n 0 = 0

Isso significa, então, que f e g se tangenciam no ponto ( 0 ,   0 ) .

Passo 2

Falta achar a reta tangente compartilhada pelos dois gráficos nesse ponto (é só uma porque só há um ponto de tangencia). A equação da reta tangente a uma função em um ponto qualquer x 0 é dada por:

y = f ' x 0 x + f ( x 0 )

Como queremos uma reta compartilhada pelas duas funções, as equações das retas tangentes de cada uma das funções no ponto (0,0) tem que ser iguais, ou seja:

y = f ' 0 x + f 0 = g ' 0 x + g 0

Sabemos que:

f 0 = s e n 0 = 0

f ' 0 = cos ⁡ 0 = 1

g 0 = tan ⁡ 0 = 0

g ' 0 = sec 2 ⁡ 0 = 1

Portanto:

y = 1 x + 0

y = x

Passo 3

b) Incluindo o ponto de tangencia ( 0 ,   0 ) e a reta tangente y = x , calculados no item (a), o gráfico fica assim:

Resposta

a)   ( 0 ,   0 ) e y = x

b)

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