7 - Sabe-se que r é uma reta tangente ao gráfico de f x = x 3 + 3 x e paralela à reta y = 6 x - 1 . Determine r .

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nessa questão, temos uma função f x = x 3 + 3 x e temos que obter uma reta que seja tangente a essa função e ao mesmo tempo paralela à reta y = 6 x - 1 .

Essa reta tangente, vamos chamar de r .

Como vamos obtê-la?? 🤔🤔

Uma reta é dada por y = a x + y 0 onde a é o coeficiente angular da reta e y 0 é o ponto em que a reta cruza o eixo y (quando x = 0 ).

Então o que temos que fazer é encontrar r é achar os valores de a e y 0 que faça com que r seja tangente a f x .

Sacou? Bora começar! 😉

Passo 2

Primeiramente, temos que lembrar que duas retas são paralelas quando seu coeficiente angular são os mesmos, ou seja, a é igual para as duas retas.

y = 6 x - 1 r = a x + y 0 = y = 6 x - 1 r = 6 x + y 0

Agora, para encontrar y 0 vamos calcular a derivada de f x e como a derivada de uma função resulta no coeficiente angular da reta tangente em um ponto, igualamos f ' x à 6 e obtemos os pontos que satisfazem essa reta tangente r .

Derivando f x pelo método de derivação polinomial multiplicando a variável pela sua potência e subtraindo 1 do seu expoente, temos

f ' x = 3 · x 3 - 1 + 3 x 1 - 1

f ' x = 3 x 2 + 3

Igualando a 6 , já que o coeficiente angular que estamos querendo é esse.

f ' x = 3 x 2 + 3 = 6

3 x 2 = 3

x 2 = 1

Assim, como um número negativo ao quadrado resulta em um número positivo, temos que considerar

x = ± 1

Com esse resultado, vemos que em x = 1 e em x = - 1 , o coeficiente angular da reta tangente à função f x é igual à reta paralela y = 6 x - 1 .

Tranquilo até aqui? 😁

Passo 3

Agora temos que substituir os valores de x que encontramos em f x para obter sua imagem e substituir em r .

Para x = 1

f 1 = 1 3 + 3 1 = 4

Para x = - 1

f - 1 = - 1 3 + 3 - 1 = - 4

Então, substituindo r = 4 e x = 1 em r , temos

r = 6 x + y 0

4 = 6 1 + y 0

y 0 = - 2

Agora substituindo r = - 4 e x = - 1 ...

r = 6 x + y 0

- 4 = 6 - 1 + y 0

y 0 = 2

Encontramos dois valores para y 0 , portanto, temos duas retas que satisfazem nosso problema!

r = 6 x - 2 r = 6 x + 2

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

r = 6 x - 2

r = 6 x + 2

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