4) Determine a equação da reta tangente à curva y = x 3 + 2 x + 5 no ponto x = 1

Passo 1

Antes de começar a fazer conta mesmo, vamos lembrar do seguinte: a equação da reta tangente. O modelinho é esse aqui:

y - y 0 = m x - x 0

Onde x 0 , y 0 é o ponto de tangência e m é o coeficiente angular da reta, que nada mais é do que o valor da primeira derivada no ponto de tangência, logo:

m = y ' x 0

Sendo assim, vamos preencher o modelo. Vamos começar com o ponto de tangência. Só sabemos uma coordenada dele: x 0 = 1 . Pra achar a outra, só substituir, beleza? Logo:

y 0 = x 0 3 + 2 x 0 + 5

y 0 = 1 3 + 2 . 1 + 5

y 0 = 8

Sendo assim, o modelo fica:

y - 8 = y ' 1 x - 1

Passo 2

Falta só y ' 1 pra fecharmos em! Como estamos falando da primeira derivada, não tem jeito, é derivar! Como y é um polinômio, derivamos da seguinte forma:

y = x 3 + 2 x + 5

y ' = 3 x 2 + 2

E aplicando o ponto de tangência x 0 = 1 , ficamos com:

y ' x 0 = y ' 1 = 3.1 2 + 2 = 3 + 2 = 5

A equação da reta tangente fica:

y - 8 = 5 x - 1

E ajeitando ela, temos:

y - 8 = 5 x - 5

y = 5 x - 5 + 8

y = 5 x + 3

Resposta

y = 5 x + 3

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