Considere a função f ( x ) = s e n ( t g ( x 2 ) ) + x + 9 x 2 + 1

b ) Calcule a reta tangente no ponto de abscissa 0 .

Passo 1

Oiie, tudo certinho com você?

Temos uma função definida como

f ( x ) = s e n ( t g ( x 2 ) ) + x + 9 x 2 + 1

e precisamos a reta tangente no ponto que tem como abscissa x = 0 . Para isso precisamos utilizar a seguinte equação da reta

y = a x + b

em que a é a inclinação da reta, no caso em que y é a reta tangente, temos que

a = f ' ( 0 )

já que estamos calculando em x = 0 . E b nos dá o valor de y quando x = 0 , na reta. A derivada nós calculamos na alternativa anterior, e é um cálculo extenso por si só, então colocarei aqui o resultado deste cálculo e se precisar verificar como chegar no resultado dê uma olhadinha na primeira alternativa aqui no site. Beleza? Temos que

f ' ( x ) = ( 2 c o s ( t g ( x 2 ) ) s e c 2 ( x 2 ) x + 1 2 x + 9 ) ( x 2 + 1 ) - ( s e n ( t g ( x 2 ) ) ) ( 2 x ) ( x 2 + 1 ) 2

Utilizando estas informações vamos calcular a nossa reta tangente! Vem comigo!

Passo 2

Primeira coisa vamos utilizar a derivada que calculamos e obter o valor da inclinação de nossa reta tangente, temos que

a = f ' ( 0 ) = ( 2 c o s ( t g ( 0 2 ) ) s e c 2 ( 0 2 ) 0 + 1 2 0 + 9 ) ( 0 2 + 1 ) - ( s e n ( t g ( 0 2 ) ) ) ( 2 ( 0 ) ) ( 0 2 + 1 ) 2

Que resulta em

a = 1 2 9 = 1 6

Agora, precisamos do valor de b , note que podemos obtê-lo se usarmos a = 1 / 6 na equação da reta tangente, ou seja

y = 1 6 x + b

e aplicando esta expressão ao ponto P = ( 0 , y ) = ( 0 , f ( 0 ) ) , que é um ponto que pertence à reta! Vamos fazer isso!

Passo 3

Precisamos calcular f ( 0 ) , utilizando a definição de f ( x ) dada no enunciado temos que

f ( 0 ) = s e n ( t g ( 0 2 ) ) + 0 + 9 0 2 + 1 = 9

Ou seja, temos que

f ( 0 ) = 3

Desta forma, aplicando em nossa equação da reta tangente o ponto P = ( 3,0 ) , obtemos que

3 = 1 6 ( 0 ) + b

Obtemos que

b = 3

E, portanto, a equação da reta tangente é

y = 1 6 x + 3

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

y = 1 6 x + 3

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