Sabe-se que o ponto P ( x 0 ,   y 0 ) está sobre a curva

x 5 / 4 24 + y 5 / 4 34 = 1

de tal forma que a reta tangente à curva no ponto P determina junto com os eixos coordenados um triângulo de área 4 . O valor de x 0 y 0 4 é

Escolha uma:

(A) 94

(B) 102

(C) 106

(D) 108

(E) 110

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado no deu um ponto P ( x 0 ,   y 0 ) que está sobre a curva x 5 / 4 24 + y 5 / 4 34 = 1 , e sua reta tangente determina junto com os eixos coordenados um triângulo de área 4 .

Digamos que os pontos de interseção da reta tangente à curva e os eixos sejam, respectivamente ( x 1 ,   0 ) e ( 0 ,   y 1 ) . A partir disso, nós vamos encontrar os valores de x 1 e y 1 substituindo na equação geral da reta:

f x = f ( x 0 ) + f ' ( x 0 ) ( x - x 0 )

Onde f ' ( x 0 ) é o coeficiente angular da reta e também a derivada da nossa curva. Usando x 1 e y 1 na equação de área do triângulo ( A = x 1 y 1 2 = 4 ) , nós conseguimos encontrar o valor de x 0 y 0 4 .

Vamos lá!

Passo 2

Para encontrarmos a reta tangente, calculamos primeiro o coeficiente angular desta reta, derivando a equação da curva em relação à variável  x .

Teremos:

x 5 4 24 + y 5 4 34 ' = ( 1 ) '

5 96 x 1 / 4 + 5 136 y ' y 1 / 4 = 0

Agora vamos isolar y ' :

y ' = - 5 96 x 1 4 ∙ 136 5 y - 1 4

Simplificando:

y ' = - 17 12 ∙ x 1 / 4 y 1 / 4

Este é o coeficiente angular da nossa reta tangente.

Passo 3

Substituindo f x 0 = y 0 e y ' = f ' ( x ) na equação da reta tangente, temos:

f x = f ( x 0 ) + f ' ( x 0 ) ( x - x 0 )

f x = y 0 - 17 12 ∙ x 0 1 / 4 y 0 1 / 4 ( x - x 0 )

Lembra que a gente definiu ( x 1 ,   0 ) e ( 0 ,   y 1 ) como os pontos de interseção da reta tangente aos eixos coordenados? Vamos substituir esses pontos na nossa reta pra encontrar o valor dessas coordenadas.

Em ( x 1 ,   0 ) , temos:

0 = y 0 - 17 12 ∙ x 0 1 / 4 y 0 1 / 4 ( x 1 - x 0 )

Vamos aplicar a propriedade distributiva, multiplicando termo a termo:

0 = y 0 - 17 12 ∙ x 0 1 / 4 y 0 1 / 4 ∙ x 1 + 17 12 ∙ x 0 5 / 4 y 0 1 / 4

Isolando x 1 , temos:

17 12 ∙ x 0 1 / 4 y 0 1 / 4 ∙ x 1 = y 0 + 17 12 ∙ x 0 5 / 4 y 0 1 / 4

Colocando o lado direito no mesmo denominador:

17 12 ∙ x 0 1 / 4 y 0 1 / 4 ∙ x 1 = 12 y 0 5 / 4 + 17 x 0 5 / 4 12 y 0 5 / 4

x 1 = 17 x 0 5 / 4 + 12 y 0 5 / 4 17 x 0 5 / 4

Passo 4

Agora vamos olhar pra nossa equação inicial:

x 5 / 4 24 + y 5 / 4 34 = 1

Colocando no mesmo denominador, temos:

34 x 5 / 4 + 24 y 5 / 4 816 = 1

34 x 5 / 4 + 24 y 5 / 4 = 816

Agora repare que a gente pode dividir a equação toda por 2 , e fica assim:

17 x 5 / 4 + 12 y 5 / 4 = 408

Olha só, o lado direito é igual ao numerador do x 1 , então a gente sabe que esse numerador vale 408 . Substituindo lá, temos:

x 1 = 17 x 0 5 / 4 + 12 y 0 5 / 4 17 x 0 5 / 4 = 408 17 x 0 5 / 4

Simplificando:

x 1 = 24 x 0 5 / 4

Passo 5

Agora vamos repetir o processo pra ( 0 ,   y 1 ) . Usando a equação da reta tangente:

f x = f ( x 0 ) + f ' ( x 0 ) ( x - x 0 )

y 1 = y 0 - 17 12 ∙ x 0 1 / 4 y 0 1 / 4 ( 0 - x 0 )

y 1 = y 0 + 17 12 ∙ x 0 5 / 4 y 0 1 / 4

Colocando todo mundo no mesmo denominador:

y 1 = 12 y 0 1 / 4 + 17 x 0 5 / 4 12 y 0 1 / 4

E a gente pode substituir de novo pela igualdade 17 x 5 / 4 + 12 y 5 / 4 = 408 :

y 1 = 408 12 y 0 1 / 4

Simplificando:

y 1 = 34 y 0 1 / 4

Passo 6

Calma que tá acabando! Lembra que o objetivo da questão é descobrir o valor de x 0 y 0 4 . E o enunciado nos diz que esses eixos coordenados estão em um triângulo de área 4 . Então, temos pra área do triângulo:

A = x 1 y 1 2 = 4

E nós já sabemos que x 1 = 24 x 0 5 / 4 e y 1 = 34 y 0 1 / 4 . Então,

24 x 0 5 / 4 ∙ 34 y 0 1 / 4 2 = 4

24 x 0 5 / 4 ∙ 34 y 0 1 / 4 = 8

Fazendo a multiplicação:

816 x 0 5 / 4 y 0 1 / 4 = 8

Logo,

x 0 5 / 4 y 0 1 / 4 = 816 8

Mas x 0 5 / 4 y 0 1 / 4 = x 0 y 0 4 , então encontramos nosso resultado:

x 0 y 0 4 = 102

Que é a nossa alternativa (B).

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

x 0 y 0 4 = 102

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Encontre a equação da reta tangente à curva no ponto dado y = x - 1 x - 2,( 3,2 )
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