Determinar a reta tangente, o hiperplano normal e a curvatura k ( t ) da curva

X t = ( t 2 - 3 t 4 ,   t 3 ,   t 3 + t ,   2 t - t 5 )

Em R 4 no ponto t = - 1 .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular três coisas, a reta tangente a curva, o hiperplano da curva e a curvatura da curva.

Pra calcular a reta tangente a essa curva paramétrica, nós vamos usar a fórmula:

r t = σ t 0 + σ ' t 0 ∙ t

onde σ t 0 é a função X ( t ) aplicada no ponto t 0 = - 1 , e σ ' t 0 é a derivada de X ( t ) no ponto. Já para calcular o hiperplano normal nós vamos definir a equação de um plano genérico:

a x + b y + c z + d w + e = 0

Onde ( a ,   b ,   c ,   d ) é um vetor normal ao plano. Nós sabemos que o nosso plano passa pelo ponto σ ' ' ( t 0 ) , porque esse é o vetor diretor do vetor normal ao plano na fórmula da reta normal:

r t = σ t 0 + σ ' ' t 0 ∙ t

Assim, σ ' ' t 0 vai nos dar os coeficientes da equação do hiperplano normal na forma a x + b y + c z + d w + e = 0 .

Por fim, vamos calcular a curvatura da curva usando a equação:

k t = X ' t × X ' ' ( t ) X ' t 3

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar calculando a reta tangente a curva. Calculando σ ( t 0 ) , com t 0 = - 1 , temos:

σ - 1 = - 1 2 - 3 - 1 4 ,   - 1 3 ,   - 1 3 + - 1 ,   2 - 1 - - 1 5

σ - 1 = ( - 2 ,   - 1 ,   0 ,   - 1 )

Agora vamos calcular a derivada de X t = ( t 2 - 3 t 4 ,   t 3 ,   t 3 + t ,   2 t - t 5 ) , que vai ser nosso σ ' ( t ) :

σ ' t = ( 2 t - 12 t 3 ,   3 t 2 ,   3 t 2 + 1 ,   2 - 5 t 4 )

Aplicando t = - 1 , temos:

σ ' - 1 = ( 2 ( - 1 ) - 12 ( - 1 ) 3 ,   3 ( - 1 ) 2 ,   3 ( - 1 ) 2 + 1 ,   2 - 5 ( - 1 ) 4 )

σ ' - 1 = ( 10 ,   3 ,   4 ,   - 3 )

Agora substituindo em r t = σ t 0 + σ ' t 0 ∙ t , temos a nossa reta tangente:

r t = - 2 ,   - 1 ,   0 ,   - 1 + ( 10 ,   3 ,   4 ,   - 3 ) t

r t = - 2 ,   - 1 ,   0 ,   - 1 + ( 10 t ,   3 t ,   4 t ,   - 3 t )

Somando os vetores:

r t = ( - 2 + 10 t ,   - 1 + 3 t ,   4 t ,   - 1 - 3 t )

Passo 3

Calculando agora o hiperplano normal a curva X t = ( t 2 - 3 t 4 ,   t 3 ,   t 3 + t ,   2 t - t 5 ) , vamos usar a equação:

a x + b y + c z + d w + e = 0

Sabendo que r t = σ t 0 + σ ' ' t 0 ∙ t representa a equação de uma reta normal ao plano. O vetor diretor σ ' ' t 0 nos dá a direção dessa reta. E nós já vimos que ( a ,   b ,   c ,   d ) também é um vetor normal ao plano. Então, calculando a segunda derivada de X ( t ) , para obter σ ' ' t 0 , vamos ter um vetor na direção normal que pode ser representado pelos coeficientes ( a ,   b ,   c ,   d ) . Vamos com calma.

Derivando X t = ( t 2 - 3 t 4 ,   t 3 ,   t 3 + t ,   2 t - t 5 ) , obtemos:

σ ' t = ( 2 t - 12 t 3 ,   3 t 2 ,   3 t 2 + 1 ,   2 - 5 t 4 )

Derivando novamente, temos:

σ ' ' t = ( 2 - 36 t 2 ,   6 t ,   6 t ,   - 20 t 3 )

Aplicando t 0 = - 1 :

σ ' ' - 1 = ( 2 - 36 - 1 2 ,   6 ( - 1 ) ,   6 ( - 1 ) ,   - 20 ( - 1 ) 3 )

σ ' ' - 1 = ( - 34 ,   - 6 ,   - 6 ,   20 )

Essas são as coordenadas ( a ,   b ,   c ,   d ) do vetor normal ao plano. Portanto:

a ,   b ,   c ,   d = ( - 34 ,   - 6 ,   - 6 ,   20 )

Mas a gente viu no passo 2 que no ponto t = - 1 , temos σ - 1 = ( - 2 ,   - 1 ,   0 ,   - 1 ) . Substituindo esse ponto junto com os valores de a , b , c e d na equação do plano a x + b y + c z + d w + e = 0 , temos:

a x + b y + c z + d w + e = 0

- 34 - 2 - 6 - 1 - 6 0 + 20 - 1 + e = 0

Isolando e :

e = - 68 - 6 + 20

e = - 54

Então, nosso hiperplano será:

- 34 x - 6 y - 6 z + 20 w - 54 = 0

Passo 4

Por fim, vamos calcular a curvatura da curva usando a equação:

k t = X ' t × X ' ' ( t ) X ' t 3

A gente já viu nos passos anteriores que X ' t = ( 2 t - 12 t 3 ,   3 t 2 ,   3 t 2 + 1 ,   2 - 5 t 4 ) e X ' ' t = ( 2 - 36 t 2 ,   6 t ,   6 t ,   - 20 t 3 ) . Substituindo isso na fórmula da curvatura:

k t = ( 2 t - 12 t 3 ,   3 t 2 ,   3 t 2 + 1 ,   2 - 5 t 4 ) × ( 2 - 36 t 2 ,   6 t ,   6 t ,   - 20 t 3 ) ( 2 t - 12 t 3 ,   3 t 2 ,   3 t 2 + 1 ,   2 - 5 t 4 ) 3

Só que agora a gente tem um probleminha, como é que a gente calcula o produto vetorial no R 4 ? Porque normalmente a gente faz isso usando o determinante da matriz formada pelos vetores, só que essa matriz precisa ser quadrada ( 3 × 3 ) e não ter pra ter uma matriz quadrada com 4 componentes no vetor. Um saída seria usar a definição do módulo do produto vetorial na forma:

X ' - 1 × X ' ' - 1 = X ' t X ' ' t s i n s i n   θ  

Mas a gente não sabe quem é o ângulo θ entre eles. Só que dá pra encontrar usando o produto escalar, que tem a fórmula:

X ' t ∙ X ' ' t = X ' t X ' t c o s c o s   θ  

Isolando o c o s c o s   θ   :

c o s c o s   θ   = X ' t ∙ X ' ' t X ' t X ' t

Usando X ' t = ( 2 t - 12 t 3 ,   3 t 2 ,   3 t 2 + 1 ,   2 - 5 t 4 ) e X ' ' t = ( 2 - 36 t 2 ,   6 t ,   6 t ,   - 20 t 3 ) , no ponto t = - 1 , temos

X ' - 1 = ( 10 ,   3 ,   4 ,   - 3 )

X ' ' - 1 = ( - 34 ,   - 6 ,   - 6 ,   20 )

Calculando o módulo desses vetores:

X ' - 1 = 10 2 + 3 2 + 4 2 + - 3 2 = 134

X ' ' - 1 = ( - 34 ) 2 + ( - 6 ) 2 + ( - 6 ) 2 + 20 2 = 1628

E produto escalar entre X ' - 1 e X ' ' - 1 :

X ' t ∙ X ' ' t = 10 ,   3 ,   4 ,   - 3 ∙ ( - 34 ,   - 6 ,   - 6 ,   20 )

X ' t ∙ X ' ' t = - 340 - 18 - 24 - 60 = - 442

Assim, temos:

c o s c o s   θ   = X ' - 1 ∙ X ' ' - 1 X ' - 1 X ' - 1 = - 442 134 1628

Calculando o arco cosseno desse valor, temos aproximadamente:

θ ≈ 2,81

Usando esse ângulo no cálculo do produto vetorial, vamos ter:

X ' - 1 × X ' ' - 1 = X ' - 1 X ' ' - 1 s i n s i n   θ  

X ' - 1 × X ' ' - 1 = 134 1628 s i n s i n   2,81  

X ' - 1 × X ' ' - 1 ≅ 22,92

Aplicando esse resultado na fórmula da curvatura, temos:

k t = X ' t × X ' ' ( t ) X ' t 3

k t = 22,92 134 3 = 0,015

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

r t = ( - 2 + 10 t ,   - 1 + 3 t ,   4 t ,   - 1 - 3 t )

- 34 x - 6 y - 6 z + 20 w - 54 = 0

k t = 0,015

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