Sejam f e g funções deriváveis e bijetoras tais que f g x = x e g f x = x , para todo x ∈ R . Sabe-se que a reta tangente ao gráfico de g no ponto de abscissa 3 tem equação y = 1 9 x . Determine

1. Os valores de g 3 ,   g ' 3 ,   f 1 3   e   f ' 1 3 ;

2. a equação da reta tangente ao gráfico de h x = ln ⁡ 1 + f x 2 10 no ponto de abscissa 1 3 .

Passo 1

Bom, inicialmente, como a reta é tangente a g ( x ) no ponto x = 3 ,   podemos já de cara descobrir o valor de g ( 3 ) , certo?

y = x 9 → x = 3

y = 1 3

Perfeito, sabemos então que nesse ponto que coincide entre a g(x) e a nossa reta tangente, y = 1 3 , logo

g 3 = 1 3

Passo 2

Sabemos ainda que a equação da reta tangente nos é descrita na forma

y - y 0 = g ' x 0 x - x 0

Até então nós sabemos que o ponto onde essa reta passa e coincide com a função g x é em 3 , 1 3   ,   logo

y - 1 3 = g ' 3 x - 3

Temos do enunciado que o y vale aí x 9

x - 3 9 = g ' 3 x - 3

g ' 3 = 1 9

Passo 3

Para descobrirmos os valores da função f vamos usar a derivação implícita. Acompanha comigo

f g x = x

f ' g x × g ' x = 1

f ' 1 3 = 1 × 9  

f ' 1 3 = 9

Passo 4

Por último, mas não menos importante, para descobrir o valor da f 1 3 temos do enunciado que

f g x = x

f g 3 = 3

f 1 3 = 3

Passo 5

Bom, isso finaliza nossa parte 1. Agora para segunda parte ele nos pergunta a equação da reta tangente ao gráfico de h x = ln ⁡ 1 + f x 2 10 no ponto de abscissa 1 3 .

Bom, para encontrarmos a equação da renta tangete precisamos de 1 ponto, e o valor da derivada da função aplicada naquele ponto.

Sabemos que x = 1 3

h 1 3 = ln ⁡ 1 + f 1 3 2 10

ln ⁡ 1 + 9 10 = ln ⁡ 1 = 0

Conhecemos agora então um ponto da função. Precisamos do valor da derivada no ponto.

h ' x = 1 1 + f x 2 10 × 2 f x × f ' x

h ' 1 3 = 1 1 + f 1 3 2 10 × 2 f 1 3 × f ' 1 3

h ' 1 3 = 2 × 3 × 9 = 54

Passo 6

Podemos então montar nossa equação da reta tangente

y - y 0 = h ' x 0 x - x 0

y = 54 x - 1 3

Resposta

1 .   g 3 = 1 3 ,   g ' 3 = 1 9 ,   f ' 1 3 = 9 ,   f 1 3 = 3

2 .   y = 54 x - 1 3  

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