Determine a equação do plano tangente ao gráfico de f ( x , y ) no ponto indicado.

b) f x , y = 4 x 2 - y 2 + 2 y , no ponto ( - 1,2 , 4 ) .

Passo 1

Opa opa gente bonita, tudo na paz por aí?

Se essa questão for o problema, fica tranquilo que a gente já vai matar ela 😉

Aqui temos uma função de duas variáveis, f ( x , y ) , que obedece a equação:

f x , y = 4 x 2 - y 2 + 2 y

Temos também um ponto que pertence ao gráfico de f (uma superfície) que é dado por:

P 0 = ( - 1,2 , 4 )

Queremos calcular a equação do plano tangente a superfície determinada por f no ponto P 0 .

Tranquilo?!

Pra resolver esse tipo de questão, precisamos principalmente lembrar da equação geral para plano tangente ao gráfico de uma função f em um ponto ( x 0 ,   y 0 , z 0 ) . Alguém aí tá lembrado?

Basicamente, a equação é determinada por:

∇ F x 0 , y 0 , z 0 ⋅ x - x 0 , y - y 0 , z - z 0 = 0

Beleza, O ponto ( x 0 , y 0 , z 0 ) que aparece nessa expressão é justamente o ponto da superfície que o nosso plano está tangenciando. No caso dessa questão é ( - 1 , 2 , 4 ) .

Oxe, mas do nada brotou uma função F ( x , y , z ) . O que que é isso?

Então gente, essa função é obtida da seguinte forma:

1) Pegamos a função f ( x , y ) dada e substituímos por z :

f x , y =   z = 4 x 2 - y 2 + 2 y

2) Jogamos todas as variáveis para o lado esquerdo da equação:

z - 4 x 2 + y 2 - 2 y = 0  

3) Chamamos de F x , y , z a equação deixada do lado esquerdo da equação:

F x , y , z = z - 4 x 2 + y 2 - 2 y

Prontinho! Essa é a nossa F ( x , y , z ) .

Pra calcular o seu gradiente, basta fazermos:

∇ F x , y , z = ∂ F ∂ x , ∂ F ∂ y , ∂ F ∂ z

E depois aplicamos no ponto ( x 0 , y 0 , z 0 ) .

Perfeito! Vamos então calcular o gradiente de F no ponto ( - 1,2 , 4 ) e depois substituímos na equação geral do nosso plano tangente.

Passo 2

Bom, começando pelo cálculo do gradiente, temos a função:

F x , y , z = z - 4 x 2 + y 2 - 2 y

E queremos calcular:

∇ F x , y , z = ∂ F ∂ x , ∂ F ∂ y , ∂ F ∂ z

Iniciando pela derivação em relação a x , vem:

∂ F ∂ x = ∂ z - 4 x 2 + y 2 - 2 y ∂ x

Lembrando que a derivada da soma é a soma das derivadas:

∂ F ∂ x = ∂ z ∂ x - ∂ 4 x 2 ∂ x + ∂ y 2 ∂ x - ∂ 2 y ∂ x

Além disso, apenas x não é uma constante nessa derivação. E, a derivada de qualquer constante é sempre nula. Logo:

∂ F ∂ x =   ∂ 4 x 2 ∂ x

= - 8 x

Excelente! Derivando agora em relação a y , temos:

∂ F ∂ y = ∂ z - 4 x 2 + y 2 - 2 y ∂ y

Novamente separando as somas:

∂ F ∂ y =   ∂ z ∂ y - ∂ 4 x 2 ∂ y + ∂ y 2 ∂ y - ∂ 2 y ∂ y

Agora apenas os termos envolvendo y não são constantes, o restante possui derivada nula. Portanto:

∂ F ∂ y = ∂ y 2 ∂ y - ∂ 2 y ∂ y

= 2 y - 2  

Por último, mas não menos importante haha, vamos derivar em relação a z :

∂ F ∂ z = ∂ z - 4 x 2 + y 2 - 2 y ∂ z

= ∂ z ∂ z - ∂ 4 x 2 ∂ z + ∂ y 2 ∂ z - ∂ 2 y ∂ z  

Como apenas z não é constante, ficamos com:

∂ F ∂ z = ∂ z ∂ z = 1

Dica importante galera: quando montamos F ( x , y , z ) dessa forma, a derivada parcial em relação a z sempre vale 1 .

Show! Juntando tudo, temos que:

∇ F x , y , z = ( - 8 x ,   2 y - 2 ,   1 )

Como queremos o gradiente no ponto P 0 = ( - 1,2 , 4 ) , temos:

∇ F - 1,2 , 4 = - 8 ⋅ - 1 ,   2 ⋅ 2 - 2 ,   1

= ( 8 ,   2 ,   1 )

Prontinho!

Passo 3

Agora que já temos o gradiente no ponto de interesse, precisamos apenas juntar todas as informações na nossa equação geral para o plano tangente:

∇ F x 0 , y 0 , z 0 ⋅ x - x 0 , y - y 0 , z - z 0 = 0

Lembrando que x 0 , y 0 , z 0 = ( - 1,2 , 4 ) e que:

∇ F x 0 , y 0 , z 0 = ( 8,2 , 1 )

Ficamos com:

8,2 , 1 ⋅ x - - 1 ,   y - 2 ,   z - 4 = 0

Fazendo o produto escalar:

8 x + 1 + 2 y - 2 + 1 z - 4 = 0

8 x + 8 + 2 y - 4 + z - 4 = 0

Logo:

8 x + 2 y + z = 0

E é issooo! Matamos mais uma questão.

Vocês curtiram? Responde Aí!

Resposta

8 x + 2 y + z = 0

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