Dada a função

f x = 2 x 3 + 9 x 2 + 12 x

Determine:

  1. Qual é a equação da reta tangente no ponto - 1 , - 5 ?

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa questão pede a equação da reta tangente ao gráfico de uma função no ponto ( - 1 , - 5 )

Puxa, vida e agora? Como encontrar isso?

Quando você ouvir falar em equação da reta tangente você precisa lembrar de duas coisas:

  1. A equação de uma reta é dada por
  2. y - y 0 = m ( x - x 0 )

    Onde ( x 0 , y 0 ) é o ponto ponde a reta encosta na função (ponto de tangência). Geralmente ele é dado, como é o exemplo do nosso exercício! Ok?

  3. Nota aquele " m " na equação da reta tangente? Ele é um velho conhecido nosso: é o coeficiente angular da reta. Mas o que tem de tão especial para eu comentar? Para nós aqui do cálculo, esse coeficiente da reta tangente é a derivada da função f ( x ) aplicada no ponto dado!

Isso mesmo! Precisamos achar a derivada da função e aplicar no ponto! Tudo isso antes de sair calculando a equação da reta! Beleza?

Fica tranquilo! É lógico que vou fazer passo a passo com você! Bora começar?

Passo 2

Nossa função é a seguinte

f x = 2 x 3 + 9 x 2 + 12 x

Nosso primeiro passo é determinar a derivada dela!

f ' x = 2.3 x 2 + 9.2 x 1 + 12

f ' x = 6 x 2 + 18 x + 12

Tudo bem até aqui? E agora?

Agora precisamos aplicar no ponto dado! Assim vamos encontrar o coeficiente angular da reta tangente!

O ponto dado foi ( - 1 , - 5 ) , substituindo na função (que só depende de x ):

f ' - 1 = 6 ( - 1 ) 2 + 18 - 1 + 12 = 0

Sendo assim

m = 0

Calma! Encontrar um coeficiente angular igual a zero só nos indica que a reta tangente é horizontal! Uma inclinação zero significa que a reta não está nem subindo nem descendo!

Passo 3

Agora nossa missão é substituir tudo na equação da reta tangente

y - y 0 = m ( x - x 0 )

O ponto x 0 , y 0 = ( - 1 , - 5 ) foi dado! O coeficiente angular acabamos de calcular no passo anterior

m = 0

Agora é só substituir!

y - - 5 = 0 x - - 1

y + 5 = 0

y = - 5

E é isso galera! Essa é nossa resposta! A equação da reta tangente ao gráfico de f ( x ) no ponto ( - 1 , - 5 ) é

y = - 5

Espero ter ajudado! Até a próxima!

Resposta

y = - 5

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