Exercícios Resolvidos de Reta tangente

George B.Thomas, Cálculo Volume 1, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda, 2009, pp. 186-37. MODIFICADO

Sendo:

f x = 4 + cot ⁡ ( x ) - 2 csc ⁡ ( x )

Encontre as equações para:

  1. A tangente à curva em P .
  2. A tangente horizontal à curva em Q .

Passo 1

Primeiro temos que lembrar que equação geral da reta tangente é:

y - f x 0 = f ' x 0 x - x 0

x 0 é um ponto em x na curva. Então, agora o que temos que saber para achar a reta tangente é a nossa derivada f ' x   para depois substituir o nosso x 0 na equação.

Vamos lá!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Então vamos derivar nossa função:

f x = 4 + cot ⁡ ( x ) - 2 csc ⁡ ( x )

Como

( cot ⁡ x ) ' = - csc 2 ⁡ ( x )

E

csc ⁡ x ' = - csc ⁡ ( x ) cot ⁡ ( x )

A nossa derivada fica assim:

f ' x = - csc 2 ⁡ ( x ) + 2 csc ⁡ ( x ) cot ⁡ ( x )

Passo 3

Pronto! Achamos a derivada, então vamos resolver a letra a

a)

Repara que o enunciado forneceu qual x 0 que ele quer! No ponto P = x 0 = π / 2 . Então vamos substituir na fórmula

y - f π 2 = f ' π 2 x - π 2

Então, galerinha, antes de começar a calcular só relembrando: csc π 2 = 1 e c o t π 2 = 0 .

Agora vamos lá! Calculando f π 2 ,   temos

f π 2 = 4 + cot ⁡ ( π 2 ) - 2 csc ⁡ ( π 2 )

f π 2 = 2

Agora vamos para derivada f ' π 2 ,

f ' π 2 = - ⁡ c s c 2 ( π 2 ) + 2 csc ⁡ ( π 2 ) cot ⁡ ( π 2 )

f ' π 2 = - 1

Pronto! Já podemos substituir esses valores na fórmula. A nossa reta fica assim:

y - 2 = - 1 x - π 2

Então a equação da reta tangente à curva em P   é:

y = 2 - x - π 2

Olhe como fica:

Passo 4

Agora a letra b . Pode parecer complicado aqui o fato de você não sabe as coordenadas do ponto Q. Para não confundir, vamos chamar aqui no x 0 de x Q , pois queremos a tangente neste ponto Q , ok?

Mas neste caso, o pulo do gato está no enunciado ter dito que a tangente nesse ponto é horizontal. Se a tangente é horizontal, o coeficiente dela é zero! Em outras palavras,

f ' x Q = 0

Então para achar quem é meu x Q , eu preciso saber qual ponto minha derivada é zero,

f ' x Q = - ⁡ c s c 2 ( x Q ) + 2 csc ⁡ ( x Q ) cot ⁡ x Q = 0

- ⁡ c s c 2 x Q = 2 csc ⁡ x Q cot ⁡ x Q

2 cot ⁡ x Q = csc ⁡ x Q

2 cos ⁡ x Q sen ⁡ x Q = 1 sen ⁡ x Q

cos ⁡ ( x Q ) = 1 2

O cosseno é igual 1 2 em:

x Q = π 3

Existem muitos outros pontos onde o cosseno é igual a ½, mas este é o ponto que queremos, pois, olhando no gráfico do enunciado:

Vemos que a coordena x de Q está entre 1 e π / 2 . O único ponto onde o cosseno é ½ entre esses valores é x = x Q = π / 3 .

Passo 5

Pronto! Já temos o ponto x Q = π 3 . Agora é substituir na fórmula:

y - f π 3 = f ' π 3 x - π 3

Vamos voltar a nossa equação original e descobrir f ( π 3 ) :

f ( π 3 ) = 4 + cot ⁡ ( π 3 ) - 2 csc ⁡ ( π 3 ) = 4 + 3 3 - 4 3 3

Então:

f π 3 = 4 - 3

Lembra que a nossa derivada no ponto x Q é igual a zero?

f ' π 3 = 0

substituir esses valores na fórmula. A nossa reta fica assim:

y - 4 - 3 = 0 x - π 3

Então a equação da reta tangente à curva em Q   é:

y = 4 - 3

Resposta

  1. y = 2 - x - π 2
  2. y = 4 - 3

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