Seja f : R → R derivável, inversível, com inversa derivável e tal que f 2 = 3 , f ' 2 = 4 . A equação da reta tangente ao gráfico da inversa de f no ponto ( 3 ,   2 ) é:

  1. y = 4 x + 1 3
  2. y = 4 x + 4 3
  3. y = 1 4 x + 5 4
  4. y = 1 4 x + 2
  5. y = 1 3 x + 1 3

Passo 1

Vamos chamar a inversa de f de g . A equação da reta tangente a g no ponto ( 3 ,   2 ) é dada por:

y - g 3 = m x - 3

onde o coeficiente angular m é a tangente de g no ponto dado.

Para obter a equação da reta tangente que queremos, temos que encontrar os valores de g 3 e m .

Passo 2

Vamos começar achando o valor de g ( 3 ) . O enunciado não nos dá nenhuma informação sobre g , apenas sobre f . Pode parecer que está faltando dados para fazer a questão, mas não está. Lembre-se que se uma função sai de um valor x e resulta num valor y , a sua inversa sai desse valor y e resulta no valor x . Por isso, se

f 2 = 3

significa que

f - 1 3 = 2

Como f - 1 = g concluímos que

g 3 = 2

Passo 3

Agora temos que descobrir o coeficiente angular m . Sabemos que ele é a derivada de g quando x = 3 . Lembra do Teorema da Função Inversa? Ele nos permite usar a seguinte relação

f - 1 ' ( y ) = 1 f ' x

No final das contas, essa relação nos diz que a derivada da função inversa é o inverso da derivada da função. Nesse caso,

g ' 3 = 1 f ' ( 2 ) = 1 4

g 3 = 2

Passo 4

Finalmente podemos escrever a equação da reta tangente a inversa de f .

y - 2 = 1 4 x - 3

y = 1 4 x - 3 4 + 2

y = 1 4 x + 5 4

Resposta

c. y = 1 4 x + 5 4  

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