Encontre uma equação para a reta que contém o ponto (−2, 3) e é tangente à curva y   =   7   −   x ² .

Passo 1

Eaew, belezinha?

A questão pede para a gente determinar uma reta que contenha o ponto (-2, 3) e que seja tangente à função dada. Primeiro, notemos que, como a reta tem que ser tangente à função y = 7 - x ² , ela deve conter algum ponto da função y(x). De fato, o ponto (-2,3) pertence à função pois quando x =-2

y ( - 2 ) = 7 - ( - 2 ) ² = 7 - 4 = 3

Então, à reta tangente à função y = 7 - x ² no ponto (-2, 3) satisfaz as condições que queremos: conter o ponto (-2,3) e ser tangente à curva y(x). Ent��o só precisamos determinar a reta tangente à y(x) nesse ponto! E como a gente faz isso? Bem, a gente sabe que a reta é uma função bastante simples, porque só possui dois parâmetros: coeficiente angular e coeficiente linear.

Então, a gente sempre pode escrever uma reta no formato:

y   = a x + b

Primeiro a gente só precisa determinar a inclinação dessa reta. Para isso, vamos calcular a derivada da função, já que sua derivada nos retorna a inclinação da reta tangente à cada ponto da curva. Então vamos lá derivar!

Passo 2

A nossa função é uma função polinomial do tipo y = x n . Como a derivada de uma função do tipo y = x n é simplesmente

d y d x = n x ( n - 1 )

Então, a derivada de y(x) é dada por

d y d x = d d x ( 7 - x ² ) = - 2 x

No ponto com coordenada x = -2, temos que a inclinação da reta tangente é, portanto:

d y ( - 2 ) d x = - 2 ( - 2 ) = 4

Então agora a gente já tem a inclinação da reta! Agora só precisamos determinar seu coeficiente linear b. Então vamos lá!

Passo 3

Com a informação da inclinação a da reta e de um ponto contido nessa reta (o ponto (-2,3)), já temos informação suficiente para determinar o coeficiente linear! Como a reta passa por esse ponto, podemos escrever sua equação com o coeficiente angular calculado anteriormente para determinar seu coeficiente linear

y ( x )   = a x + b   ⇒     y ( - 2 ) = 3 =   4 ( - 2 ) + b

Então, temos que b é simplesmente dado por

b   =   3 - 4 ( - 2 ) = 11

Eureka! Agora já temos os dois coeficientes da reta que contém o ponto (-2,3) e que é tangente à curva 7-x². A equação dela é dada por

y = 4 x + 11

Resposta

y = 4 x + 11

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