Questão 3 - Considere a curva plana determinada pela equação y 2 = x + ln ⁡ y x . Sabendo que a variável y é dada implicitamente em função de x próximo do ponto Q = 1,1 , determine a equação da reta tangente ao gráfico dessa curva no ponto Q .

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nós temos uma curva dada pela equação y 2 = x + ln ⁡ y x . Perceba que y é dado implicitamente em função de x .

O que queremos é obter a equação da reta tangente à curva no ponto Q = 1,1 .

Lembra como fazemos isso? 🤔

A equação de uma reta no plano cartesiano é dada por

y = a x + b

Onde a é o coeficiente angular da reta e b é uma constante de correção y 0 .

a é obtido a partir da tangencia de uma curva e a tangencia de uma curva é o mesmo que a derivada dessa curva em um ponto. Ou seja

a = y ' x

Como foi dado no enunciado, o ponto Q pertence à curva, portanto quando x = 1 , y = 1 também.

Essas informações são importantíssimas!

Pronto? Bora lá? 😉

Passo 2

Considerando y como uma função y x , temos que

y 2 = x + ln ⁡ y x → y x 2 = x + ln ⁡ y x x

Vamos encontrar a derivada de y então pra isso começamos a derivar nos dois lados

d y x 2 d x = d x + ln ⁡ y x x d x

Como a derivada da soma é igual a soma das derivadas

d y x 2 d x = d x d x + d ln ⁡ y x x d x

Pela regra da cadeia, a derivada de y x 2 é dada pela derivada de dentro y ' x multiplicado pela derivada de fora 2 y x .

d y x 2 d x = 2 y x y ' x

Já a derivada de x , pelo método de derivação polinomial é igual a 1

d x d x = 1

E por fim, a derivada de ln ⁡ y x x , pela regra da cadeia, é dada por

d ln ⁡ y x x d x = d y x x d x · d ln ⁡ u d u

Pelo teorema fundamental do cálculo, a derivada de ln ⁡ u é igual a 1 / u

d ln ⁡ y x x d x = y x x ' · 1 u

Substituindo u de volta

d ln ⁡ y x x d x = y x x ' · 1 y x x

d ln ⁡ y x x d x = y x x ' · x y x

Tranquilo até aqui? 👀

Passo 3

Substituindo os resultados das derivadas na equação, vamos obter

d y x 2 d x = d x d x + d ln ⁡ y x x d x

2 y x y ' x = 1 + y x x ' · x y x

A derivada de y x / x é obtida pela regra do quociente, ou seja

y x x ' = y ' x x - y x x ' x 2

Como sabemos que a derivada de x é 1 , então x ' = 1

y x x ' = y ' x x - y x x 2

Substituindo na equação

2 y x y ' x = 1 + y x x ' · x y x

2 y x y ' x = 1 + y ' x x - y x x 2 · x y x

Simplificando...

2 y x y ' x = 1 + y ' x x - y x x y x

Estamos chegando no fim!

Tudo certo? 👍

Passo 4

Estamos interessados em saber sobre a reta tangente no ponto 1,1 , ou seja, y 1 = 1 e x = 1 .

2 y 1 y ' 1 = 1 + y ' 1 1 - y 1 1 y 1

Fazendo as substituições e isolando y ' 1 , vamos obter

2 1 y ' 1 = 1 + y ' 1 1 - 1 1 1

2 y ' 1 = 1 + y ' 1 - 1 1

2 y ' 1 = 1 + y ' 1 - 1

Simplificando...

2 y ' 1 = y ' 1

Logo

y ' 1 = 0

Nosso coeficiente angular é igual a 0 . Isso significa que se substituirmos a por 0 e b por y 0 na equação da reta, temos

y = 0 x + y 0

Como temos pelo ponto Q , y 0 = 1 , portanto

y = 1

É a equação da reta tangente à curva no ponto Q !

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

y = 1

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