6. Sabendo que a reta 2 y + 3 x + 7 = 0 é tangente ao gráfico da função diferenciável f em x = 3 , determine f 3 e f ' 3 .

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui nós temos uma reta tangente ao ponto x = 3 e precisamos achar f 3 e f ' 3 , sem sabermos que função é essa.

Para isso, temos que lembrar que equação da reta tangente é dada por:

y - y 0 = y ' x 0 x - x 0

Onde, x 0 e y 0 são as coordenadas do ponto e y ' x 0 é a derivada no ponto.

Agora bora aplicar!

Passo 2

O enunciado disse que a reta é tangente ao ponto x = 3 , ou seja, x 0 = 3 e y 0 = f 3 .

Pela equação geral da reta tangente para o ponto dado, temos

y - f 3 = f ' 3 x - 3

Isolando y

y = f ' 3 x - 3 f ' 3 + f 3

Além disso, ele também nos disse a equação da reta tangente,

2 y + 3 x + 7 = 0

Isolando y ,

y = - 3 2 x - 7 2

Agora vamos determinar quem é f 3 e f ' 3 .

Passo 3

Comparando as equações, ficamos com

f ' 3 x - 3 f ' 3 + f 3 = - 3 2 x - 7 2

Repara que f ' 3 é o termo que acompanha x (o nosso coeficiente angular). Logo:

f ' 3 = - 3 2

Já o nosso coeficiente linear será

- 3 f ' 3 + f 3 = - 7 2

Como já sabemos quem é f ' 3 ,

- 3 - 3 2 + f 3 = - 7 2

9 2 + f 3 = - 7 2

f 3 = - 7 2 - 9 2 = - 16 2 = - 8

Prontinho!

Resposta

f ' 3 = - 3 2

f 3 = - 8

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