Exercícios Resolvidos de Reta tangente

PUC-RJ - Cálculo 1 - P1 2010.2 – 5

Considere f a função definida pelo gráfico abaixo,

Sabendo que a reta r é tangente ao gráfico da f em x = - 2 e s a reta tangente ao gráfico da f em x = 1

  1. Determine a equação da reta r
  2. Determine f - 2 e f ' - 2
  3. Determine a equação da reta s
  4. Determine f 1 e f ' 1

Passo 1

Vamos começar pela letra a .

Olhando para a equação da reta tangente:

y - f x 0 = f ' x 0 x - x 0

Temos que   ( x 0 , f x 0 ) é o ponto de tangência. Mas se olharmos pro enunciado vamos ver que a reta   r é tangente em x = - 2 , então:

x 0 = - 2

Substituindo:

y - f x 0 = f ' x 0 x - x 0 ⟹

y - f - 2 = f ' - 2 x + 2

Olhando o gráfico, é perceptível que a reta que queremos calcular toca o eixo x ( y = 0 ) no ponto x = - 3 .

Então ( - 3,0 ) é um ponto dessa reta. Assim:

y - f - 2 = f ' - 2 x + 2 ⟹

0 - f - 2 = f ' - 2 - 3 + 2

Portanto:

f - 2 = f ' ( - 2 )

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Tá, mas qual o valor de f - 2 ? Aí vem a outra sacada. No gráfico também está o ângulo de inclinação da reta. A tangente desse ângulo é seu coeficiente angular que também será a derivada da curva naquele ponto:

f ' - 2 = tan ⁡ 30 ° = 3 3

Já temos todos os valores agora:

y - f - 2 = f ' - 2 x + 2

⟹ y - 3 3 = 3 3 ( x + 2 )

Se a gente ajeitar melhor, vamos chegar que equação da reta r é: y = 3 3 x + 3

Passo 3

Vamos para a letra b agora.

Já na letra a vimos que:

f - 2 = f ' - 2 = 3 3

Opa! Já matamos😊

Passo 4

Letra c (tá acabando)!

Considerando a equação geral da reta tangente de novo, mas agora para s :

y - f x 0 = f ' x 0 x - x 0

Pelo gráfico do enunciado o ponto de tangencia da reta s é em x = 1 :

x 0 = 1

Assim, a equação ficará: y - f 1 = f ' 1 x - 1 ⟹

y - f ( 1 ) = f ' 1 x - 1

Ainda temos mais algumas coisas aí. Assim, como aconteceu com r , a reta s também cruza o eixo x , mas quando x = 2 . Logo passa pelo ponto 2,0 , usando isso temos:

0 - f 1 = f ' 1 2 - 1 ⟹

f ' 1 = - f ( 1 )

Show! Mais uma relação maneira, então dá para escrever:

y = f ' 1 x - 1 - f ' 1 ⟹

y = f ' 1 x - 2 f ' 1 ⟹

y = f ' ( 1 ) ( x - 2 )

Passo 5

Como achar f ' 1 ? Olhando para o gráfico (sempre ele), vemos que as retas r e s se encontram quando x = 0 . Assim, nesse ponto temos que:

y r = y s

Mas encontramos y r = 3 3 x + 3

E

y s = f ' ( 1 ) ( x - 2 )

Substituindo x = 0 e igualando y r = y s :

3 3 0 + 3 = f ' 1 0 - 2 ⟹ 3 3 3 = f ' ( 1 ) ( - 2 )

- 2 f ' 1 = 3

f ' 1 = - 3 2

Finalmente, substituindo esse valor em y s = f ' 1 x - 2 ,   e aí temos que a equação da reta s é:

y = - 3 2 ( x - 2 )

Passo 6

Acabou? Quase, porque a letra d a gente tira fácil desta relação que encontramos na c :

f ' 1 = - f ( 1 )

Sendo:

f ' 1 = - 3 2

Que também foi calculado anteriormente, então:

f 1 = 3 2

Resposta

  1. y r = 3 3 x + 3
  2. f ' - 2 = 3 3           e           f - 2 = 3 3
  3. y s = - 3 2 x + 3
  4. f ' 1 = - 3 2           e           f 1 = 3 2

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