Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função f dada passando pelo ponto a ,   f a , caso elas existam.

(c) f x = co s ⁡ ( x ) e a = π 2

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar a equação da reta tangente ao gráfico de f x = cos ⁡ ( x )   que passa pelo ponto de coordenada x = π 2 . Pra descobrir a coordenada y do ponto, basta substituir o valor de x na função:

y = f x = cos ⁡ π 2 = 0

Então, queremos encontrar a reta tangente que passa pelo ponto ( π 2 ,   0 ) . Lembra dela? A equação da reta tem a forma:

y - y 0 = m ( x - x 0 )

Onde ( x 0 ,   y 0 ) é o ponto dado e m é o nosso coeficiente angular, que é numericamente igual a derivada da função no ponto, ou seja:

m = f ' ( x 0 )

Então, vamos derivar a nossa função, aplicar o valor de x 0 do ponto e substituir os dados do enunciado na equação da reta tangente.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar calculando a derivada de f x = cos ⁡ ( x ) em relação a x :

f ' x = - s in ⁡ ( x )

Aplicando o valor x 0 = π 2 , temos:

f ' π 2 = - s in ⁡ π 2 = - 1

Esse é o nosso coeficiente angular:

m = - 1

Então, substituindo m = - 1 e x 0 ,   y 0 = π 2 ,   0 na equação da reta, temos:

y - y 0 = m ( x - x 0 )

y - 0 = - 1 x - π 2

Isolando y :

y = π 2 - x

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

y = π 2 - x

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