3. Considere a função f x = a x 2 + b x + c , onde a ,   b ,   c ∈ R .

  1. Sabendo que f ' x = 4 x + 1 , encontre os valores de a e b .
  2. Sabendo que a reta tangente ao gráfico de f no ponto 0 , c para pelo ponto ( 1,2 ) , encontre o valor de c .

Passo 1

  1. Oi, galerinha! Tudo bom? Para acharmos a e b , temos que derivar a nossa função. Para isso vamos usar a regra do polinominio. Fica assim:
  2.   f x = a x 2 + b x + c

    f ' x = 2 a x + b

    Agora vamos igualar as derivadas

    2 a x + b = 4 x + 1

    Note que para essa igualdade ser verdadeira temos que

    2 a x = 4 x

    a = 2

    E

    b = 1

    Prontinho!

    Passo 2

  3. Entao, galerinha, a equação da reta tangente tem a seguinte cara:

y - y 0 = y ' x - x 0

Como o enunciado diz que ela é tangente ao ponto ( 0 , c ) , ficamos com

y - c = y ' 0 x - 0

Agora vamos calcular y ' 0

y ' 0 = 4 0 + 1 = 1

Logo,

y - c = 1 x

y = c + x

Como o problema também falou que a reta passa pelo ( 1,2 ) , podemos substituir na equação

2 = c + 1

c = 1

Resposta

  1. a = 2 e b = 1
  2. c = 1

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