Seja r um número real positivo tal que em um ponto do primeiro quadrante do plano cartesiano as curvas

46 x 2 + 6 x y + 46 y 2 = 1568

e

x 2 + y 2 = 2 r 2     c o m   r > 0 ,

possuem a mesma reta tangente.

O valor de r é:

(A) 5

(B) 6

(C) 4

(D) 3

(E) 2

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado no deu um número r real positivo, que tá no primeiro quadrante, onde as duas curvas dadas têm a mesma tangente. Isso significa que a derivada delas no ponto precisa ser igual. E ele quer saber o valor de r .

Então, o que nós vamos fazer é calcular a derivada de cada função e igualar as duas pra obter o valor de r .

Vamos lá!

Passo 2

Como a nossa função é de duas variáveis, nós vamos precisar calcular sua derivada implícita fazendo:

d d x 46 x 2 + 6 x y + 46 y 2 = d d x ( 1568 )

92 x + 6 y + 6 x y ' + 46 2 y y ' = 0

Agora vamos isolar y ' :

y ' 6 x + 92 y = - 92 x - 6 y

y ' = - 92 x - 6 y 6 x + 92 y

Pra x 2 + y 2 = 2 r 2 vamos fazer a mesma coisa, calculando sua derivada:

2 x + 2 y y ' = 0

Isolando y ' :

2 y y ' = - 2 x

y ' = - 2 x 2 y = - x y

Passo 3

Agora vamos igualar as duas derivadas:

- 92 x - 6 y 6 x + 92 y = - x y

Multiplicando cruzado, temos:

- x ( 6 x + 92 y ) = y - 92 x - 6 y

- 6 x 2 - 92 x y = - 92 x y - 6 y 2

Simplificando:

- 6 x 2 = - 6 y 2

Como nós estamos considerando apenas o primeiro quadrante, as raízes são positivas, então temos:

x = y

Passo 4

Substituindo esse resultado na equação:

x 2 + y 2 = 2 r 2    

Temos:

2 y 2 = 2 r 2

y = r

Mas a gente quer saber o valor de r , então vamos substituir os dois resultados na outra equação:

46 x 2 + 6 x y + 46 y 2 = 1568

Temos:

46 x 2 + y 2 + 6 r 2 = 1568

92 r 2 + 6 r 2 = 1568

Como r é sempre positivo, isolando r na equação temos:

98 r 2 = 1568

r 2 = 16

r = 4

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

r = 4

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