Encontre uma equação para a reta tangente à curva y   =   x ²   −   4 que seja paralela à reta tangente à curva y = 2 x no ponto (1, 2).

Passo 1

Eaew, belezinha?

A questão pede para a gente encontrar uma reta tangente que seja paralela à uma segunda reta. Bem, a gente sabe que retas são funções bastante simples, porque só precisamos de dois parâmetros para determinar suas equações: Seu coeficiente angular a e seu coeficiente linear b, pois qualquer reta pode ser escrita na forma:

y   =   a x + b

Então, primeiro precisamos determinar qual é a equação da reta tangente à curva y = 2 x no ponto (1,2) para obter sua inclinação e, em seguida, determinar a equação da reta tangente à curva y   = x ²   - 4 . E como a gente determina a inclinação de uma reta tangente à uma função? Calculando a sua derivada no ponto. Então vamos lá derivar!

Passo 2

Como a derivada de uma função do tipo y = x n é simplesmente

d y d x = n x ( n - 1 )

E, como podemos escrever a função y = 2 x como y = 2 x 1 2 , temos que a sua derivada é:

d y d x = 2 × 1 2 x 1 2 - 1 = 2 × 1 2 x - 1 2 = 1 x

Então, a inclinação da reta tangente no ponto de coordenadas (x = 1, y = 2) é simplesmente:

d y ( 1 ) d x = 1 x = 1 1 = 1

Ótimo! Agora a gente já sabe a inclinação que a reta tangente à função y   =   x ² - 4 precisa ter para ser paralela a reta da função y = 2 x : 1! Então, agora só precisamos derivar a função y   =   x ² - 4 para determinar quando a inclinação de sua reta tangente é igual à 1. Então bora lá!

Passo 3

Novamente, a nossa função é uma função polinomial do tipo y = x n . Então, a sua derivada é dada por

d y d x = d d x ( x ² - 4 ) = 2 x

A gente quer que essa inclinação seja igual à 1. Então só precisamos igualar a expressão acima à 1 e obter o valor de x para o qual isso ocorre:

2 x = 1   ⇒   x   =   1 2

Então, no ponto de coordenadas ( x = 1 2 ,   y   =   - 15 4 ) , a inclinação da reta tangente é igual à 1 e, portanto, ela é paralela à reta tangente à função y = 2 x no ponto (1,2). Agora, para terminar de determinar a reta, só precisamos calcular seu coeficiente linear. E como a gente faz isso? Bem, se a reta que a gente quer determinar é tangente à função no ponto ( x = 1 2 ,   y   =   - 15 4 ) , isso significa que esse ponto pertence tanto à função x ² - 4 quanto à reta.

Sabendo a inclinação a e um ponto da reta, podemos determinar a equação que descreve a reta inteira fazendo:

y 1 2   =   - 15 4 = a x + b   =   1 × 1 2 + b ⇒     b = - 17 4

Então, a equação da reta tangente à curva x²-4 paralela a curva 2 x no ponto (1,2) é

y   =   1 x - 17 4 = x - 17 4

Dá só uma olhada no gráfico das funções 2 x , x ² - 4 , x - 17 4 e x + 1 , respectivamente em, verde, vermelho, azul e amarelo:

Resposta

y = x - 17 4

Exercícios de Livros Relacionados

Quantas retas tangentes à curva y = x / ( x + 1 ) passam pelo ponto ( 1 ,2 ) ? Em quais pontos essas retas tangentes tocam a curva?
Se G x = 4 x 2 - x 3 , encontre G ' ( a ) e use-o para encontrar equações das retas tangentes à curva y = 4 x 2 - x 3 nos pontos ( 2 ,8 ) e ( 3,9 ) .Ilustre a parte (a) traçando a curva e as retas tan
Encontre uma equação da reta tangente à curva y = 2 1 + e - x no ponto 0,1 .Ilustre a parte (a) fazendo o gráfico da curva e da tangente na mesma tela.
Encontre a equação da reta tangente à curva no ponto dado y = x - 1 x - 2,( 3,2 )
Esboce o gráfico de uma função f para a qual f 0 = 0 ,f ' 0 = 3,f ' 1 = 0ef ' 2 = - 1