Encontre uma equação para a reta que contém o ponto (1, 0) e é tangente à curva y = 2 x - 2 .

Passo 1

Eaew, belezinha?

A questão pede para a gente determinar uma reta que contenha o ponto (1, 0) e que seja tangente à função dada. Uma reta é uma função bastante simples, porque só possui dois parâmetros que a definem completamente: sua inclinação (dada pelo coeficiente angular) e seu coeficiente linear. Primeiro, notemos que, como a reta tem que passar pelo ponto (1,0), ela possui o seguinte vínculo para seus parâmetros a e b

y   =   a x + b       ⇒     y ( 1 ) = 0   = a × 1 + b

b = - a

Então, qualquer reta que passe pelo ponto (1,0) deve possuir coeficiente linear igual à menos seu coeficiente angular (note que, no entanto, nem toda reta que passa por (1,0) é tangente à curva). Assim, podemos escrever a nossa reta no formato

y = a ( x - 1 )

Então agora, só precisamos determinar o coeficiente angular de modo que a reta acima corresponda a alguma reta tangente à curva y = 2 x - 2 . Para isso, vamos precisar de uma fórmula genérica para as retas tangentes a essa curva. E como a gente obtém isso? Calculando a derivada da função!

Então vamos lá derivar!

Passo 2

Como a derivada de uma função do tipo y = x n é simplesmente

d y d x = n x ( n - 1 )

E, como podemos escrever a função y = 2 x - 2 como y = 2 ( x - 2 ) 1 2 , pela regra da cadeia, temos que a sua derivada é dada por:

d y d x = 2 × 1 2 ( x - 2 ) - 1 2 × 1 = 1 x - 2

Então, temos que a função que nos retorna a inclinação da reta tangente à curva y = 2 x - 2 em qualquer ponto x dado é 1 x - 2 . Então, podemos escrever uma equação de reta genérica para qualquer reta tangente à essa curva como

y ( x ) =   1 x 0 - 2 x + b

Onde x 0 é um ponto qualquer onde desejamos calcular a reta tangente. Além disso, lembre-se, a gente quer que essa reta passe pelo ponto (1,0). Então, temos a relação para a e b: b =-a. Assim, podemos escrever a equação da reta acima como

y ( x ) =   1 x 0 - 2 x - 1 x 0 - 2

Mas agora, a gente quer saber para qual valor de x 0 essa reta, que é tangente à curva, passa pelo ponto (1,0). Sabendo que os pontos da curva são da forma ( x 0 ,   2 x 0 - 2 ) , podemos substituir esse ponto na equação da reta acima e obter o valor de x 0 para o qual a reta tangente à curva passa por (1,0). Fazendo isso obtemos

2 x 0 - 2 = x 0 x 0 - 2 - 1 x 0 - 2

Multiplicando os dois lados por x 0 - 2 , obtemos

2 ( x 0 - 2 ) = x 0 - 1     ⇒   x 0 = 4 - 1 = 3

Então, o ponto x para o qual a reta tangente passa pelo ponto (1,0) é o ponto de coordenadas (x=3, y=2). Nesse ponto, a inclinação da reta tangente é dada por

a = 1 3 - 2 = 1

E, portanto, o coeficiente linear, que é simplesmente o negativo de a, é -1. Assim, a equação da reta que procuramos é dada por

y ( x ) = x - 1

Resposta

y ( x ) = x - 1

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