Prove que não há reta que contenha o ponto (1, 2) e seja tangente à curva y   =   4   −   x ²

Passo 1

Eaew, belezinha?

A questão pede para a gente mostrar que nenhuma reta tangente à função 4 - x² passa pelo ponto (1,2). Bem, primeiro vamos lembrar o que sabemos sobre retas: elas são funções bastante simples, porque só dependem de 2 parâmetros (seu coeficiente angular e seu coeficiente linear). Uma reta que contenha o ponto (1,2) contém o seguinte vínculo entre seu coeficiente angular a e seu coeficiente linear b

y ( x ) = a x + b     ⇒   2   = a × ( 1 ) + b

a + b = 2

Nossa demonstração se resume, então, a encontrar uma equação genérica para uma reta tangente à curva 4 - x² e mostrar que seus coeficientes linear e angular nunca se relacionam da forma acima. E como a gente calcula uma reta tangente à uma função? Primeiro precisamos calcular uma função que nos dê a inclinação da reta tangente em cada ponto, ou seja, a sua derivada! Então, bora lá derivar a função!

Passo 2

Como a derivada de uma função do tipo y = x n é simplesmente

d y d x = n x ( n - 1 )

E como a nossa função y(x) é da forma 4 - x², temos que a sua derivada é simplesmente:

d y d x = d d x ( 4 - x ² ) = - 2 x

Então, para um ponto sobre a curva, de coordenadas ( x 0 ,   4 - x 0 ² ), temos que a equação genérica de sua reta tangente é

y ( x ) = - 2 x 0 x + b

Mas, como o ponto ( x 0 ,   4   - x 0 ² ) está contido na reta tangente, podemos calcular o coeficiente linear, substituindo esse ponto na equação acima. Fazendo isso, obtemos:

y ( x 0 ) = 4   - x 0 ² = - 2 x 0 x 0 + b     ⇒     b   =   x 0 ² + 4

Então, já determinamos os parâmetros de uma reta tangente genérica para um ponto x 0 qualquer. A equação da reta é dada por

y ( x ) = - 2 x 0 x + ( x 0 ² + 4 )

Então, todas as retas tangentes à curva são dessa forma. Agora, só precisamos verificar se existe algum valor x 0 para o qual o ponto (1,2) esteja incluído nessa reta. E como a gente faz isso? Bem, lembra que verificamos que, qualquer reta que passe pelo ponto (1,2) possui um vínculo entre a e b dado por a + b = 2 ? Então, a gente só precisa verificar se existe algum x 0 tal que a soma do coeficiente angular nesse ponto mais o coeficiente linear seja igual a 2. Então, com os valores de a e b calculados para um x 0 , podemos escrever

a + b = - 2 x 0 + x 0 ² + 4 = 2

Então, precisamos encontrar um x 0 que seja solução da equação de segundo grau abaixo:

x 0 ² - 2 x 0 + 2 = 0

Resolvendo a equação acima, verificamos que Δ = 4 x 0 ² - 8 x 0 ² = - 4 x 0 ² e, portanto, ela não possui raízes reais. Ou seja, não existe nenhum valor de x sobre a reta real para os quais a soma do coeficiente angular e coeficiente linear da reta tangente seja igual a 2, que, como vimos, era uma condição necessária e suficiente para que a reta passe pelo ponto (1,2)! Então, não existe nenhuma reta tangente à curva 4 - x² que passe pelo ponto (1,2).

Resposta

Demonstração ao longo da questão.

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