Calcule a reta tangente ao gráfico de f x = ln ⁡ x 2 em x = e

Passo 1

Escolher e entender a equação da reta

Show de bola, vamos lá! Existem duas equações de reta possíveis:

y = a x + b

y - y 0 = a x - x 0

As duas são válidas, mas as vezes só uma ajuda no que o enunciado pede. Como o enunciado pede a reta em um ponto de tangência e não a reta que passa por um ponto qualquer, a melhor equação é a segunda, onde x 0 , y 0 .

Beleza, mas quem é esse a ai mesmo? Essa constante vai ser a inclinação da reta tangente, que vai ser igual à:

a = f ' x 0

Nossa equação de reta vai ser então:

y - y 0 = f ' x 0 x - x 0

Passo 2

Achar o ponto de tangência

Pra gente partir pra esse ponto, temos que lembrar do enunciado: ele pede “tangência em x = e ”. Opa, maravilha! Já sabemos quem é x 0 :

x 0 =   e

Pra achar y 0 , basta a gente fazer y 0 = f x 0 então. Partiu:

f e = ln ⁡ e 2

f e = ln ⁡ e

f e = 1

f e = 1

O ponto de tangência vai ser então:

e , 1

E a equação da reta vai virar:

y = f ' e x - e + 1

Passo 3

Achar a inclinação da reta tangente

Agora vem a parte mais braçal: a inclinação da reta tangente. Pra isso, precisamos derivar f x primeiro. Então vamos lá:

f ' x = d d x ln ⁡ x 2 = 1 2 ln ⁡ x 2   d d x ln ⁡ x 2

f ' x = 1 2 x 2 ln ⁡ x 2   d d x x 2 =   2 x 2 x 2 ln ⁡ x 2

f ' x = 1 x ln ⁡ x 2

Agora, no ponto de tangência, vamos ter:

a = f ' e = 1 e ln ⁡ e 2 = 1 e ln ⁡ e

a = f ' e = 1 e

Passo 4

Terminar de montar da equação da reta e ver o gráfico

Perfeito! Fechamos! Temos tudo pra montar a equação oda reta. A reta vai ficar:

y = 1 e x - e + 1

Graficamente:

Resposta

y = 1 e x - e + 1

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