Sabendo que as funções z t = c s c ⁡ ( t ) e g t = t 2 + 1 e t + C são deriváveis em seus domínios, determine:

  1. Equação da reta tangente ao gráfico de z pelo ponto π 4 , z π 4 ;
  2. O valor da constante C sabendo que a inclinação da reta tangente ao gráfico de g no ponto ( 0 , g ( 0 ) ) vale - 1 / 9 .

Passo 1

Fala aí, galerinha, essa questão é sobre retas tangentes, a letra “a” nos pede a reta tangente ao gráfico de z pelo ponto π 4 , z π 4 . Vamos começar relembrando qual a fórmula da reta tangente:

y - y 0 = m ⋅ x - x 0

Onde:

m = f ' ( x 0 )

Então vamos identificar essas informações de acordo com o ponto dado no enunciado:

x 0 = π 4

y 0 = z π 4

Como a nossa função z é:

z t = c s c ⁡ ( t )

Então:

y 0 = z π 4 = csc ⁡ π 4 = 2 2

Agora quanto ao coeficiente angular:

m = f ' x 0 = z ' π 4 = csc ' ⁡ π 4

Passo 2

Vamos começar calculando essa derivada para encontrar o coeficiente angular:

m = csc ' ⁡ π 4 = - csc ⁡ π 4 ⋅ c o t g π 4

Sabendo que o valor da cossecante no ponto x = π / 4 é:

csc ⁡ π 4 = 2 2

A cotangente de x = π / 4 é:

c t g π 4 = 1

Voltando ao coeficiente:

m = - csc ⁡ π 4 ⋅ c o t g π 4 = - 2 2 ⋅ 1 = - 2 2

Passo 3

Agora que já sabemos essas informações, vamos substituir todos os valores na expressão da reta tangente:

y - y 0 = m ⋅ x - x 0

Teremos:

y - 2 2 = - 2 2 ⋅ x - π 4

Logo a reta tangente tem a cara:

y = - 2 2 ⋅ x - π 4 - 1

Fim do round da letra “a”!

Passo 4

Vamos para o segundo round, a letra “b” nos pede o valor da constante C , sabendo o valor da inclinação da reta tangente. Bem, a inclinação da reta tangente é dada pelo coeficiente angular, que nós já vimos no item anterior que é:

m = f ' ( x 0 )

Considerando que ela está falando da função g ( t ) , ela escolheu um ponto onde:

x 0 = 0

E o enunciado nos disse que a inclinação é - 1 / 9 , então vamos escrever essas relações:

m = g ' 0 = - 1 9

Mas quem é g ( t ) ? É esse cara aqui:

g t = t 2 + 1 e t + C

Passo 5

O que temos que fazer nessa questão é derivar a função g ( t ) e substituir t = 0 para comparar com o valor resultado que o enunciado nos deu, então vamos lá!

Derivando a função g ( t ) , percebemos que teremos que usar a Regra do Quociente:

g t = t 2 + 1 e t + C

g ' t = t 2 + 1 ' ⋅ e t + C - t 2 + 1 ⋅ e t + C ' e t + C 2

Derivando e multiplicando, ficamos com:

g ' t = ( 2 ⋅ t ) ⋅ e t + C - t 2 + 1 ⋅ ( e t ) e t + C 2

Agora substituindo o valor de t = 0 :

g ' 0 = ( 2 ⋅ 0 ) ⋅ e 0 + C - 0 2 + 1 ⋅ ( e 0 ) e 0 + C 2 = 0 - 1 ⋅ 1 1 + C 2

Agora vamos igualar isso ao valor do coeficiente angular:

m = g ' 0 = 0 - 1 ⋅ 1 1 + C 2 = - 1 9

Passo 6

Veja que comparando, nós temos:

- 1 1 + C 2 = - 1 9

Podemos cortar o valor de - 1 dos dois lados:

9 = 1 + C 2

Tiramos a raiz quadrada dos dois lados:

1 + C = ± 3

Então:

C = 3 - 1 = 2

Ou

C = - 3 - 1 = - 4

Resposta

  1. y = - 2 2 ⋅ x - π 4 - 1

C = 2

C = - 4

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