Determine a(s) reta(s) tangente(s) ao gráfico da função a seguir e paralelas a reta s abaixo

f ( x ) = 4 x 2 - 5

s : y = 4 x + 3

Passo 1

Fala galera, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Cálculo 1. Nosso objetivo é encontrar as retas tangentes ao gráfico de f e que são paralelas a reta s . Vocês lembram da definição da reta tangente ao gráfico? Vamos revisar!

a reta r tangente ao gráfico da função f no ponto x = x 0 é dada por:

r :   ( y - f ( x 0 ) ) = f ' ( x 0 ) ( x - x 0 )

Ou seja, ela depende da derivada de f . O que faz sentido, já que a derivada de uma função da a inclinação da reta tangente ao gráfico dessa função.

Mas a questão pede que a nossa reta tangente seja paralela a outra reta. Como levamos em consideração essa restrição? Para isso precisamos perceber que se duas retas são paralelas, então ela tem a mesma inclinação, isto é, tem o mesmo coeficiente angular. Isso quer dizer que se o coeficiente angular da reta s for α então

f ' ( x 0 ) = α

Ou seja, o coeficiente angular da nossa reta tangente também é α . E para isso, teremos que descobrir qual o valor de x 0 que satisfaz a equação acima.

Com isso em mente, vamos calcular a nossa reta de interesse:

Passo 2

Nosso objetivo é encontrar as retas tangentes ao gráfico de f e que são paralelas a reta s . A nossa função f e reta s estão abaixo.

f ( x ) = 4 x 2 - 5

s : y = 4 x + 3

Vimos no passo anterior que para a reta tangente ser paralela a reta s elas precisavam ter o mesmo coeficiente angular. Vamos começar calculando o coeficiente angular da reta s . Como a reta já está na forma

y = α x + b

Então temos que o coeficiente angular é o termo que multiplica x . Que no caso da reta s é 4 .

Então o coeficiente angular da reta s é 4 .

Agora, precisamos calcular o coeficiente da reta tangente em um ponto x 0 . Lembrando que a reta é dada por:

r :   ( y - f ( x 0 ) ) = f ' ( x 0 ) ( x - x 0 )

E seu coeficiente angular é f ' ( x 0 ) . Vamos começar calculando a derivada de f . Como

f ( x ) = 4 x 2 - 5

Usando a regra da derivada de função polinomial, temos que:

( x p ) ' = p ( x p - 1 )

então, pela regra e pela linearidade da derivada, temos que

f ' ( x ) = ( 4 x 2 - 5 ) '

= ( 4 x 2 ) ' - ( 5 ) '

= 8 x

Ou seja, o coeficiente angular de qualquer reta tangente ao gráfico de f no ponto x = x 0 é dada por

f ' ( x 0 ) = 8 x 0

Bacana né?

Passo 3

Descobrimos que o coeficiente angular da reta s

s : y = 4 x + 3

é 4

E que o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f em um ponto x = x 0 é dada por

f ' ( x 0 ) = 8 x 0

Mas o enunciado pede que a nossa reta tangente seja paralela a reta s , e comentamos no passo 1 que isso só acontece se elas tiverem o mesmo coeficiente angular, isto é se

8 x 0 = 4

E isso só acontece quando x 0 = 1 / 2 . Logo só temos uma reta tangente a reta s . E ela é dada pela fórmula

r :   ( y - f ( x 0 ) ) = f ' ( x 0 ) ( x - x 0 )

Substituindo os valores que calculamos, temos que

r :   ( y - f ( 1 / 2 ) ) = 4 ( x - 1 / 2 )

⇒ r :   ( y + 4 ) = 4 ( x - 1 / 2 )

Isolando y , obtemos

⇒ r :   y = 4 x - 6

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

r :   y = 4 x - 6

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