b) Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de y = f x no ponto P indicado:

f x = 3 x       ;       P = 1 , 3

Passo 1

Antes de começarmos, vamos lembrar de uma coisa: a equação de uma reta tangente. Beleza, essa equação vai ser:

y - y 0 = m x - x 0

Onde x 0 , y 0 é o ponto de tangência e m é a inclinação da reta tangente. Ok, show de bola, o ponto de tangência já temos, que é P = 1 , 3 , então:

x 0 = 1

y 0 = 3

E logo:

y - 3 = m x - 1

Mas quem então vai ser m ? Bem, como inclinação de reta tangente tem tudo a ver com a primeira derivada da função, m vai ser ninguém mais e ninguém menos que a primeira derivada no ponto de tangência:

m = f ' x 0 = f ' 1

E é isso ai, vamos achar esse m agora então!

Passo 2

Antes de aplicar o ponto de tangência no m vamos derivar ele, beleza? A primeira derivada vai ser então:

f ' x = 3 x '

Antes de derivar, vamos reescrever essa função como uma potência de x , saca só:

f ' x = 3 x - 1 2 '

Usando a regra:

x a ' = a x a - 1

Ficamos com:

f ' x = 3   - 1 2 x - 1 2 - 1

f ' x = - 3 2 x - 3 2

f ' x = - 3 2 x 3

Como queremos f ' 1 , temos:

f ' 1 = - 3 2 1 3 = - 3 2

A inclinação da reta tangente vai ser então:

m = f ' x 0 = f ' 1 = - 3 2

E a equação da reta vai ser:

y - 3 = - 3 2 x - 1

y - 6 2 = - 3 2 x + 3 2

y = - 3 2 x + 9 2

Resposta

y = - 3 2 x + 9 2

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