Q03) Sejam a , b   ∈ I R . Decida se cada proposição abaixo é verdadeira ou falsa:

  1. Se y = a x + b é a equação da reta tangente ao gráfico da função f x = sec ⁡ x , então - 1 ≤ a ≤ 1

Passo 1

Bora lá. Pra começar, como tamos falando de reta tangente, vamos lembrar do modelo da equação:

y - y 0 = m x - x 0

Onde x 0 , y 0 é o ponto de tangência e m = f ' x 0 o coeficiente angular da reta. Se a gente tentar adequar isso ao modelo do enunciado, vamos ter:

y - y 0 = m x - m x 0

y = m x + y 0 - m x 0

y = a x + b

E logo:

a = m b = y 0 - m x 0

Como o enunciado só ta se preocupando com o intervalo no qual o valor de a está definido, no final das contas, vemos que:

a = m = f ' x 0

Opa, sabemos f x ! Então basta derivarmos e substituirmos x = x 0 pra ter ainda mais informações sobre a . Partiu:

f x = sec ⁡ x

f ' x = sec ⁡ x tan ⁡ x

f ' x 0 = sec ⁡ x 0 tan ⁡ x 0

Pronto, agora, sabendo que:

a = m = f ' x 0 = sec ⁡ x 0 tan ⁡ x 0

Basta a gente analisar se:

- 1 ≤ sec ⁡ x 0 tan ⁡ x 0 ≤ 1

É verdadeiro ou falso. Pra isso, basta a gente testar um x 0 que torne mentira pra o enunciado todo ser falso. E veja bem, x 0 = π 4 é uma boa tentativa! Isso porque sabemos seno e cosseno de π 4 = 45 º que é um daqueles ângulos que a gente acaba gravando. Bora lá então:

sec ⁡ π 4 tan ⁡ π 4 = 1 cos ⁡ π 4 ∙ 1 = 1 2 2 = 2 2 ≅ 2 1,41 ≅ 1,41

Opa, 1,41 não está dentro do intervalo! Então é falso

Resposta

Falso uma vez que a = m = f ' x 0 = sec ⁡ x 0 tan ⁡ x 0 e que alguns valores de x 0 como x 0 = π 4 tornariam a inequação - 1 ≤ a ≤ 1 falsa

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