Sejam k um número real e C a curva determinada pela equação - 4 e - 12 x y + 6 y 2 = k . O ponto P ( 3 ,   - 3 ) está sobre a reta tangente ao gráfico da curva no ponto A 0 ,   y 0 ∈ C . O valor de k é:

Escolha uma:

(A) 489

(B) 477

(C) 475

(D) 482

(E) 479

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado no deu uma curva determinada pela equação - 4 e - 12 x y + 6 y 2 = k , disse que o ponto P ( 3 ,   - 3 ) está sobre a reta tangente ao gráfico da curva no ponto A 0 ,   y 0 , e ele quer saber qual o valor de k .

Pra descobrir isso, primeiro nós vamos usar a equação da reta tangente:

y - y 0 = y ' ( x 0 ) ( x - x 0 )

Onde y ' ( x 0 ) é o coeficiente angular da reta e também a derivada da nossa curva. Então, nós vamos derivar - 4 e - 12 x y + 6 y 2 = k pra descobrir o coeficiente angular no ponto A 0 ,   y 0 . Em seguida, a gente vai substituir na equação da reta, considerando o ponto P ( 3 ,   - 3 ) e, assim, obter o valor de k .

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar derivando - 4 e - 12 x y + 6 y 2 = k em relação a x :

48 e - 12 x y y + x y ' + 12 y y ' = 0

Repare que aparece um y ' , porque a gente tá derivando implicitamente em relação a x , já que essa é uma função de duas variáveis. Isolando y ' , temos:

y ' 48 x e - 12 x y + 12 y = - 48 y e - 12 x y

y ' = - 48 y e - 12 x y 48 x e - 12 x y + 12 y

Simplificando fica:

y ' = - 4 y e - 12 x y 4 x e - 12 x y + y

Mas o enunciado diz que a reta é tangente ao gráfico da curva no ponto A 0 ,   y 0 . Então, vamos substituir x = 0 e y = y 0 :

y ' = - 4 y 0 e 0 4 ∙ 0 ∙ e 0 + y 0

y ' = - 4 y 0 y 0 =

y ' = - 4

Esse é o nosso coeficiente angular da reta.

Passo 3

Substituindo tudo na equação da reta tangente, temos:

y - y 0 = y ' ( x 0 ) ( x - x 0 )

y - y 0 = - 4 x - 0

Isolando y , temos a reta:

y = - 4 x + y 0

E nós sabemos que o ponto P ( 3 ,   - 3 ) está sobre essa reta tangente. Então, substituindo x = 3 e y = - 3 , temos:

- 3 = - 4 3 + y 0

y 0 = 9

Mas a gente não pode esquecer que o objetivo da questão é encontrar o valor de k , que tá na equação - 4 e - 12 x y + 6 y 2 = k . Substituindo o ponto A ( 0 ,   9 ) que encontramos, temos:

- 4 e - 12 ∙ 0 ∙ 9 + 6 ( 9 ) 2 = k

- 4 e 0 + 6 81 = k

- 4 + 486 = k

E encontramos:

k = 482

Logo, nossa resposta é a letra (D).

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

k = 482

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