Calcule o fluxo do rotacional do campo F → x , y , z = - y , x , z através da superfície S : z = e x 2 + y 2 - 1 - 1   ,   x 2 + y 2 ≤ 1 , com a normal apontando para cima.

Passo 1

“O fluxo do rotacional do campo F → ”, é muita palavra difícil junta né?

Quando o enunciado pede pra calcularmos um fluxo já sabemos que ele quer a integral de superfície. Nesse caso aqui ao invés de F → , vamos calcular a integral do rotacional de F → , ou seja:

∬ S r o t F → . n → d S

É isso! A próxima dificuldade da questão é essa superfície doida aí

z = e x 2 + y 2 - 1 - 1

x 2 + y 2 ≤ 1

Ou seja, só queremos o interior do círculo de raio 1 no plano x y . Mas como esboçamos isso?

Vamos pensar nos limites superiores disso:

x = 0   e   y = 0

z = e - 1 - 1 = 1 e - 1

Que é algum valor de z negativo, não precisa saber exatamente qual.

E quando z = 0 :

z = e x 2 + y 2 - 1 - 1 = 0

e x 2 + y 2 - 1 = 1

e x 2 + y 2 - 1 = e 0

(Todo número elevado a zero é 1.)

x 2 + y 2 - 1 = 0

x 2 + y 2 = 1

Então quando z = 0 , temos uma circunferência de raio 1 . Essa é exatamente a nossa fronteira de S !

Fizemos essa analise porque na hora da prova a gente não tem um computador pra esboçar a superfície, na verdade ela é essa aqui

Bom, agora que sabemos qual é a superfície, parece impossível resolver a integral pela definição, não é?

Vamos usar o teorema de Stokes aqui! Ele diz que

∬ S r o t F → . n → d S = ∫ C F → d r →

Onde C = ∂ S

Nesse caso C é justamente a circunferência de raio 1 no plano x y .

Passo 2

Então só precisamos dessa integral de linha aqui

∫ C F → d r →

Vamos começar parametrizando a curva, ela está no plano x y , portanto

z = 0

Com isso

σ t = cos ⁡ t , sen ⁡ t , 0

0 ≤ t ≤ 2 π

Passo 3

Pra calcular a integral de linha, ainda precisamos da derivada da parametrização

σ ' t = - sen ⁡ t , cos ⁡ t , 0

E também precisamos substituir os parâmetros da curva no campo F →

F → x , y , z = - y , x , z

Onde

x = cos ⁡ t

y = sen ⁡ t

z = 0

F → t = - sen ⁡ t , cos ⁡ t , 0

Passo 4

Juntando tudo na integral

∫ C F → d r → = ∫ 0 2 π - sen ⁡ t , cos ⁡ t , 0 . - sen ⁡ t , cos ⁡ t , 0 d t

= ∫ 0 2 π sen 2 ⁡ t + cos 2 ⁡ t d t

= ∫ 0 2 π 1 d t

Integrando isso aí

t 0 2 π = 2 π

Resposta

2 π

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