22) Verifique o teorema de Stokes, calculando as duas integrais do enunciado para...

b) F → x ,   y ,   z = y i → + z j → + x k → , S o hemisfério z = a 2 - x 2 - y 2 ,   a > 0 , orientada com n → normal unitária exterior a S .

Passo 1

O enunciado do Teorema de Stokes nos dá a seguinte relação...

∫ C   F → ⋅ d r → = ∬ S   r o t   F → ⋅ n →   d S

É basicamente essa igualde mara entre as integrais de linha e de superfície! O problema quer que calculemos as duas para verificar Stokes.

Poxa! #exercícioimenso #socorrorespondeaí!

Lógico! Bora lá que eu te ajudo 😉

Passo 2

AHHH! Mas Stokes não é só isso! Se não taria muito bom, ne? Para aplicar essa igualdade, antes devemos averiguar as condições desse Teorema, que nos pede basicamente três coisas:

1º - Uma curva fechada C delimitando a superfície S .

2º - Sem singularidades na função Vetorial.

3º - Superfície orientada positivamente.

Vamos passar por cada um deles e verificar se satisfazem ou não 😊!

Passo 3

A superfície que delimita S é, no nosso caso, um hemisfério norte da esfera de raio a ...

Veja que a curva que delimita a superfície S é essa borda em azul escuro que vamos nomeá-la de curva C .

Então pelo esboço, sim! Temos uma curva fechada C e que delimita uma superfície fechada entre ela, no caso S que é a esfera (mas C também delimita um pedacinho de disco em z = 0 percebeu? 😊)

Passo 4

2º - Sem singularidades na função Vetorial.

Ora, sim! Basta ver o campo F →

F → x ,   y ,   z = y ,   z ,   x

Para você perceber que o campo não tem nenhum bug ou singularidade, como uma divisão por 0 em algum ponto ou algo assim.

Passo 5

3º - Superfície orientada positivamente.

Aqui o que temos que fazer é garantir que o conjunto curva-superfície esteja orientadas positivamente, ou seja, se o problema nos disse que n → é o vetor que está saindo de S (esfera)

Então pela regra da mão direita a curva deve estar girando no sentido anti-horário quando vista de cima:

Agora elas estão sim orientadas positivamente, saca?

Passo 6

Bem, nas condições do Teorema podemos sim aplicar a igualdade de boa:

∫ C   F → ⋅ d r → = ∬ S   r o t   F → ⋅ n →   d S

Para calcular a integral de linha, façamos:

1º - Parametrizar a curva C ...

2º - Encontrar o termo d r → ...

3º - Trocar os termos de F → pela parametrização.

Passo 7

Primeiro em relação a parametrização da curva C : pametrizando com a parametrização polar...

x = R cos ⁡ θ

y = R sin ⁡ θ

z = 0

Onde R não é parâmetro, afinal como é uma curva só tem um parâmetro ( θ ). R é o raio da circunferência que no caso R = a ... Logo a parametrização final dessa borda é...

r → θ = a cos ⁡ θ , a   sin ⁡ �� ,   0

Onde θ tem que dar uma volta completa ao redor do z ...

0 ≤ θ ≤ 2 π

Observa que essa forma de parametrizar o θ gira no sentido que a gente quer, ou seja, anti-horário quando vista de cima. E isso acontece sempre nessa parametrização 😉!

Passo 8

∫ C   F → ⋅ d r →

A curva C já está parametrizada positivamente. Para o termo d r → , basta derivar em relação a

θ ...

d r → = - a sin ⁡ θ , a cos ⁡ θ ,   0 d θ

Passo 9

Por fim, antes de voltar para a integral de linha... O campo F → = y ,   - x ,   0 tem que ser transformado nas novas coordenadas (basta observar a parametrização) ...

F �� = y ,   z ,   x = a sin ⁡ θ ,   0 , a cos ⁡ θ

Voltando para a integral de linha...

∫ C   F → ⋅ d r → = ∫ 0 2 π a sin ⁡ θ ,   0 , a cos ⁡ θ ⋅ - a sin ⁡ θ , a cos ⁡ θ ,   0 d θ =

Calculando o produto escalar:

∫ C   F → ⋅ d r → = - a 2 ∫ 0 2 π sin 2 ⁡ θ d θ =

Lembrando que

sin 2 ⁡ θ = 1 2 - cos ⁡ 2 θ 2

- a 2 ∫ 0 2 π sin 2 ⁡ θ d θ = - a 2 ∫ 0 2 π 1 2 - cos ⁡ 2 θ 2 d θ =

- a 2 1 2 θ - cos ⁡ 2 θ 4 0 2 π = - π a 2

Passo 10

Bem, como averiguamos as condições do Teorema de Stokes e todas funcionaram, então é porque com certeza a integral de superfície do rotacional deve dar

∬ S   r o t   F → ⋅ n →   d S = - π a 2

Massss... Como o problema nos pediu para confirmar... Vamos confirmar:

Calculando o rotacional

r o t   F → = ∂ F 3 ∂ y - ∂ F 2 ∂ z ,   ∂ F 1 ∂ z - ∂ F 3 ∂ x ,   ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y

Então...

F → x ,   y ,   z = y ,   z ,   x       →

r o t   F → = 0 - 1 ,   0 - 1 ,   0 - 1 →

r o t   F → = - 1 ,   - 1 ,   - 1

Precisamos agora:

1º - Parametrizar a superfície S

2º - Encontrar o termo n → d S

Passo 11

Para parametrizar, podemos fazer isso utilizando parametrização explícita já que a superfície está bem escrita explicitamente em relação em z ...

z = a 2 - x 2 - y 2  

Logo...

σ x ,   y = x ,   y , a 2 - x 2 - y 2  

Onde x e y variam na circunferência de raio a ... (como se tivéssemos olhando para a calota de cima pra baixo) ...

Passo 12

Para determinar o termo n → d S ...

n → d S = N →   d x d y

Só que esse vetor é fácil de ser determinado, pois parametrizamos como gráfico de função...

z x ,   y = a 2 - x 2 - y 2

N → = - ∂ z ∂ x ,   - ∂ z ∂ y ,   1   →  

N → = - 1 2 a 2 - x 2 - y 2 ��� - 2 x ,   - 1 2 a 2 - x 2 - y 2 ⋅ - 2 y ,   1

N → = x a 2 - x 2 - y 2 ,   y 2 a 2 - x 2 - y 2 ,   1

Logo...

n → d S = x a 2 - x 2 - y 2 ,   y 2 a 2 - x 2 - y 2 ,   1 d x d y

Passo 13

Jogando esses resultados na integral de superfície...

∬ S   r o t   F → ⋅ n →   d S = ∬ D   - 1 ,   - 1 ,   - 1 ⋅ x a 2 - x 2 - y 2 ,   y 2 a 2 - x 2 - y 2 ,   1   d A

Calculando esse produto interno...

∬ D   - x a 2 - x 2 - y 2 - y 2 a 2 - x 2 - y 2 -   1   d A

Usando as coordenadas polares, onde...

x = r cos ⁡ θ

y = r sin ⁡ θ

J = r

E uma equação muuuuito interessante é a equação da circunferência...

x 2 + y 2 = r 2

Onde r varia de...

0 ≤ r ≤ a

E o θ ...

0 ≤ θ ≤ 2 π

Montando a integral...

∬ D r   - r cos ⁡ θ a 2 - r 2 - r sin ⁡ θ a 2 - r 2 -   1   ⋅ J d θ d r =

∫ 0 a ∫ 0 2 π - r cos ⁡ θ a 2 - r 2 - r sin ⁡ θ a 2 - r 2 -   1   r d θ d r =

Separando as integrais em duas...

∫ 0 a ∫ 0 2 π - r cos ⁡ θ + sin ⁡ θ a 2 - r 2   r d θ d r - ∫ 0 a ∫ 0 2 π   1   r d θ d r =

Calculando a primeira integral em θ ...

∫ 0 a - r 2 a 2 - r 2 ∫ 0 2 π cos ⁡ θ + sin ⁡ θ d θ d r = ∫ 0 a - r 2 a 2 - r 2 0 d r =

0

Calculando a outra integral...

∫ 0 a ∫ 0 2 π   1   r d θ d r = ∫ 0 a r ∫ 0 2 π d θ d r = 2 π ∫ 0 a r d r =

2 π r 2 2 0 a = π a 2

Logo...

∬ S   r o t   F → ⋅ n →   d S = ∫ 0 a ∫ 0 2 π - r cos ⁡ θ + sin ⁡ θ a 2 - r 2   r d θ d r - ∫ 0 a ∫ 0 2 π   1   r d θ d r =

- π a 2

Como já esperávamos 😉

Resposta

∫ C   F → ⋅ d r → = ∬ S   r o t   F → ⋅ n →   d S = - π a 2

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Use o teorema de Stokes para calcular ∬ S c u r lF → ⋅ d S . F → x , y , z = x 2 z 2 i → + y 2 z 2 j → + x y z k → , S é a parte do paraboloide z = x 2 + y 2 que está dentro do cilindro x 2 + y 2 = 4
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Use o teorema de Stokes para calcular ∬ S c u r lF → ⋅ d S . F → x , y , z = e x y cos ⁡ z i → + x 2 z j → + x y k → , S é o hemisfério x = 1 - y 2 - z 2 orientado na direção positiva do eixo x . (Sug
Use o teorema de Stokes para calcular ∫ C F → ⋅ d r → . Em cada caso, C é orientada no sentido anti-horário quando vista de cima. F → x , y , z = y z i → + 2 x z j → + ( e x y ) k → , C é a circunferê