Usando o teorema de Stokes, calcule o trabalho realizado pelo campo de forças

F → = z - y ,   - x - z ,   - x - y

quando uma partícula se move sob sua influência ao longo da curva de interseção das superfícies x 2 + y 2 + z 2 = 4 e z = y , orientada no sentido anti-horário quando vista de cima.

Passo 1

Galerinha, a gente começa relembrando um pouco lá da física, onde trabalho é força vezes o deslocamento. Então, neste caso, podemos escrever o trabalho W dessa forma aqui:

W = ∫ C F → . d r →

Para resolver essa integral vamos utilizar o Teorema de Stokes. Então teremos essa igualdade aqui:

W = ∫ C F → . d r → = ∬ S   r o t   F →   . n →   d s

Onde a curva C é o bordo da superfície S orientada positivamente.

Passo 2

A gente vai começar, esboçando essas superfícies para entender melhor o problema.

O enunciado forneceu a equação de duas superfícies.

A primeira é a equação da esfera, cujo raio é 2 :

x 2 + y 2 + z 2 = 4

Já a segunda equação é um plano:

z = y

Esboçando as duas curvas, temos:

A interseção da esfera com o plano é uma circunferência de centro na origem e raio 2 (repara que destacamos em preto na figura).

O enunciado também diz que ela está orientada no sentido anti-horário vista de cima. Deste modo, pela regra da mão direita, podemos ver que o vetor normal à superfície S deve estar apontando para cima para aplicarmos o teorema de Stokes.

Passo 3

Agora vamos partir para integral!

W = ∬ S   r o t   F →   . n →   d s

Precisamos do rotacional do campo F → ! O rotacional é dado por:

r o t F → = ∂ F 3 ∂ y - ∂ F 2 ∂ z ,   ∂ F 1 ∂ z - ∂ F 3 ∂ x ,   ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y

Como nosso campo F → é

F → = z - y ,   - x - z ,   - x - y

Temos que,

F 1 = z - y

F 2 = - x - z

F 3 = - x - y

Calculando, ficamos com

r o t F → = - 1 - - 1 ,   1 - - 1 ,   - 1 - - 1

r o t F → = 0 ,   2 ,   0

Passo 4

Repara que na nossa integral temos o rotacional é multiplicado pelo unitário do vetor normal!

Então, precisamos do vetor normal à superfície S .

Observando o esboço da superfície, vemos que o cículo que quermos orientar está contido no plano - y + z = 0 . Se não ficou claro, é só reparar que o o vetor normal sai do centro e avança para valores de y negativos e z positivos. Aahh, repara que ele não tem componente em x .

Escrevendo na forma vetorial, temos

N → = 0 ,   - 1 ,   1

Ele é um vetor normal à superfície sobre a qual estamos integrando com a orientação que queremos. No entanto, precisamos do unitário dele pra fórmula: n → = 0 ,   - 1 ,   1 2

Passo 5

Já temos todos os elementos, vamos para integral! Ela fica assim:

W = ∫ C F → . d r → = ∬ S   r o t   F →   . n →   d s = ∬ S 0 ,   2 ,   0   . 0 ,   - 1 ,   1 2   d s = ∬ S - 2 2   d s

W = ∬ S - 2 2   d s = - 2 2 ⋅ A r e a S

A gente pode deixar essa equação mais bonitinha tirando a raiz do denominador. Para isso, basta multiplicar por 2 em cima e embaixo. Aí fica assim

W =   - 2 ⋅ A r e a S

Então temos que achar a área da superfície formada pela interseção do plano com a esfera. Como a esfera e o plano passam na origem, dá pra reparar que a interseção vai ser um círculo com o raio igual ao da esfera, que é 2 !

Então,

A r e a S = π ⋅ 2 2 = 4 π

W = - 2 ⋅ A r e a S = - 4 2 π

Resposta

- 4 2 π

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