Exercícios Resolvidos de Teorema de Stokes

UFF - Cálculo IIIA - P2 Maria João 2014.1 – 5

Usando o teorema de Stokes, calcule o trabalho realizado pelo campo de forças

F = z - y ,   - x - z ,   - x - y

quando uma partícula se move sob sua influência ao longo da curva de interseção das superfícies x 2 + y 2 + z 2 = 4 e z = y , orientada no sentido anti-horário quando vista de cima.

Passo 1

Sabemos que o trabalho W é dado por

W = C F . d r

mas como queremos usar o teorema de Stokes teremos

W = C F . d r = S   r o t   F   . n   d s

Onde a curva C é o bordo da superfície S orientada positivamente.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

O esboço da curva pedida no enunciado é esse aqui

A interseção da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4 com o plano z = y é uma circunferência de centro na origem e raio 2. Como ela está orientada no sentido anti-horário vista de cima o vetor normal à superfície S deve estar apontando para cima para aplicarmos o teorema de Stokes.

Passo 3

Precisamos do rotacional do campo F ! Então vamos determina-lo.

F = z - y ,   - x - z ,   - x - y

rot F = i j k x y z P Q R

rot F = i j k x y z z - y - x - z - x - y = - i + j - k - - k - j - i = 2 j = 0 ,   2 ,   0

Passo 4

Precisamos do vetor normal à superfície S . Observando o esboço da superfície vemos que o cículo que quermos orientar está contido no plano - y + z = 0 . Logo o vetor N = 0 ,   - 1 ,   1 é um vetor normal à superfície sobre a qual estamos integrando com a orientação que queremos. No entanto, precisamos do unitário dele pra fórmula: n = 0 ,   - 1 ,   1 2

Passo 5

Logo a integral fica

W = C F . d r = S   r o t   F   . n   d s = S 0 ,   2 ,   0   . 0 ,   - 1 ,   1 2   d s = S - 2 2   d s

W = S - 2 2   d s = - 2 2 A r e a S

Então temos que achar a área da superfície formada pela interseção do plano com a esfera. Como a esfera e o plano passam na origem, dá pra reparar que a interseção vai ser um círculo com o raio igual ao da esfera, que é 2 !

Então,

A r e a S = π 2 2 = 4 π

W = S - 2 2   d s = - 2 A r e a S =

= - 4 2 π

Resposta

- 4 2 π

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