Usando o teorema de Stokes, calcule o trabalho realizado pelo campo de forças

F → = z - y ,   - x - z ,   - x - y

quando uma partícula se move sob sua influência ao longo da curva de interseção das superfícies x 2 + y 2 + z 2 = 4 e z = y , orientada no sentido anti-horário quando vista de cima.

Passo 1

Galerinha, a gente começa relembrando um pouco lá da física, onde trabalho é força vezes o deslocamento. Então, neste caso, podemos escrever o trabalho W dessa forma aqui:

W = ∫ C F → . d r →

Para resolver essa integral vamos utilizar o Teorema de Stokes. Então teremos essa igualdade aqui:

W = ∫ C F → . d r → = ∬ S   r o t   F →   . n →   d s

Onde a curva C é o bordo da superfície S orientada positivamente.

Passo 2

A gente vai começar, esboçando essas superfícies para entender melhor o problema.

O enunciado forneceu a equação de duas superfícies.

A primeira é a equação da esfera, cujo raio é 2 :

x 2 + y 2 + z 2 = 4

Já a segunda equação é um plano:

z = y

Esboçando as duas curvas, temos:

A interseção da esfera com o plano é uma elipse. Para achar essa elipse, basta substituir a equação do plano ( z = y ) na equação da esfera:

x 2 + y 2 + y 2 = 4

x 2 + 2 y 2 = 4

Dividindo tudo por 4 , para se encaixar na equação geral da elipse:

x 2 4 + y 2 2 = 1

Beleza?? Essa é a nossa elipse que será a interseção entre o plano e a esfera!

O enunciado também diz que ela está orientada no sentido anti-horário vista de cima. Deste modo, pela regra da mão direita, podemos ver que o vetor normal à superfície S deve estar apontando para cima para aplicarmos o teorema de Stokes.

Passo 3

Agora vamos partir para integral!

W = ∬ S   r o t   F →   . n →   d s

Precisamos do rotacional do campo F → ! O rotacional é dado por:

r o t F → = ∂ F 3 ∂ y - ∂ F 2 ∂ z ,   ∂ F 1 ∂ z - ∂ F 3 ∂ x ,   ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y

Como nosso campo F → é

F → = z - y ,   - x - z ,   - x - y

Temos que,

F 1 = z - y

F 2 = - x - z

F 3 = - x - y

Calculando, ficamos com

r o t F → = - 1 - - 1 ,   1 - - 1 ,   - 1 - - 1

r o t F → = 0 ,   2 ,   0

Passo 4

Repara que na nossa integral temos o rotacional é multiplicado pelo vetor normal!

Então, precisamos do vetor normal à superfície S .

Observando o esboço da superfície, vemos que a elipse que queremos orientar está contida no plano - y + z = 0 . Se não ficou claro, é só reparar que o o vetor normal sai do centro e avança para valores de y negativos e z positivos. Aahh, repara que ele não tem componente em x .

Escrevendo na forma vetorial, temos

N → = 0 ,   - 1 ,   1

Ele é um vetor normal à superfície sobre a qual estamos integrando com a orientação que queremos.

Passo 5

Já temos todos os elementos, vamos para integral! Ela fica assim:

W = ∫ C F → . d r → = ∬ S   r o t   F →   . n →   d s = ∬ S 0 ,   2 ,   0   . 0 ,   - 1 ,   1   d s = ∬ S - 2   d s

W = ∬ S - 2   d s

Então, temos que achar a área da superfície formada pela interseção do plano com a esfera. Como já vimos, nossa superfície é a elipse:

x 2 4 + y 2 2 = 1

Como a equação geral da elipse é:

( x - x 0 ) 2 a 2 + ( y - y 0 ) 2 b 2 = 1

Temos, aqui, a = 2 e b = 2 .

Então, basta a gente calcular a área dessa elipse, que é dada por a b π :

A r e a S = 2 2 π = 2 2 π

Dessa forma, podemos substituir em W :

W = - 2 ⋅ A r e a S = - 4 2 π

Logo, esse é o valor do trabalho pedido na questão! 😊

Resposta

- 4 2 π

Exercícios de Livros Relacionados

Uma partícula se move ao longo dos segmentos de reta da origem aos pontos 1,0 , 0 ,1,2 , 1 ( 0,2 , 1 ) e de volta para a origem sob a influência do campo de forças F → = z 2 i → + 2 x y j → + 4 y 4 k
Use o teorema de Stokes para calcular ∬ S c u r lF → ⋅ d S . F → x , y , z = x 2 z 2 i → + y 2 z 2 j → + x y z k → , S é a parte do paraboloide z = x 2 + y 2 que está dentro do cilindro x 2 + y 2 = 4
Verifique se o Teorema de Stokes é verdadeiro para o campo vetorial dado F → e a superfície S . F → = y i → + z j → + x k → , S é o hemisfério x 2 + y ² + z ² = 1 ² ² , y ≥ 0 , orientado na direção po
Use o teorema de Stokes para calcular ∬ S c u r lF → ⋅ d S . F → x , y , z = e x y cos ⁡ z i → + x 2 z j → + x y k → , S é o hemisfério x = 1 - y 2 - z 2 orientado na direção positiva do eixo x . (Sug
Use o teorema de Stokes para calcular ∫ C F → ⋅ d r → . Em cada caso, C é orientada no sentido anti-horário quando vista de cima. F → x , y , z = y z i → + 2 x z j → + ( e x y ) k → , C é a circunferê